V. Biểu diễn lũy thừa bậc cao qua lũy thừa bậc 1 Thí dụ 5 : Tính giá trị của biểu thức :
6 CÁC BÀI TOÁN SỐ HỌC GIẢI ĐƯỢC NHỜ TÍNH BẤT BIẾN
Một số bài toán có những đặc điểm, tính chất không thay đổi khi thay đổi các đại lượng nào đó, mà ta gọi là tính bất biến. Đôi khi có thể tìm ra lời giải cho một bài toán nhờ khai thác được tính bất biến này, chúng ta cùng theo dõi một số bài toán số học như vậy.
Bài toán 1 : Trên bảng viết 10 dấu cộng và 15 dấu trừ. Với 24 lần thực hiện, mỗi lần xóa đi 2 dấu bất kì rồi lại
thêm vào 1 dấu (cộng hoặc trừ) để cuối cùng trên bảng chỉ còn lại 1 dấu duy nhất. Biết rằng dấu được thêm vào sẽ là dấu trừ nếu trước đó đã xóa đi 2 dấu khác nhau, ngược lại dấu được thêm vào sẽ là dấu cộng. Hỏi dấu còn lại trên bảng là dấu gì ?
Lời giải : Ta thấy, nếu xóa đi 2 dấu cộng thì phải thêm vào 1 dấu cộng, vì vậy số dấu trừ trên bảng không thay
đổi.
Nếu xóa đi 2 dấu trừ thì phải thêm vào 1 dấu cộng, vì vậy số dấu trừ giảm đi 2.
Nếu xóa đi 1 dấu cộng và 1 dấu trừ thì phải thêm vào 1 dấu trừ, vì vậy số dấu trừ trên bảng không thay đổi. Như vậy, tính bất biến là : sau mỗi lần thực hiện việc xóa và thêm dấu, số dấu trừ trên bảng hoặc không thay đổi hoặc giảm đi 2.
số lẻ.
Sau 24 lần thực hiện, trên bảng chỉ còn lại 1 dấu duy nhất mà dấu trừ không thể mất hết nên dấu còn lại trên bảng phải là dấu trừ.
Bài toán 2 : Một hình tròn được chia thành 10 ô hình quạt, trên mỗi ô người ta đặt 1 viên bi. Nếu ta cứ di
chuyển các viên bi theo quy luật : mỗi lần lấy ở 2 ô bất kì mỗi ô 1 viên bi, chuyển sang ô liền kề theo chiều ngược nhau thì có thể chuyển tất cả các viên bi về cùng 1 ô hay không ?
Lời giải : Trước tiên, ta tô màu xen kẽ các ô hình quạt, như vậy sẽ có 5 ô được tô màu (ô màu) và 5 ô không
được tô màu (ô trắng). Ta có nhận xét :
Nếu di chuyển 1 bi ở ô màu và 1 bi ở ô trắng thì tổng số bi ở 5 ô màu không đổi.
Nếu di chuyển ở 2 ô màu, mỗi ô 1 bi thì tổng số bi ở 5 ô màu giảm đi 2. Nếu di chuyển ở 2 ô trắng, mỗi ô 1 bi thì tổng số bi ở 5 ô màu tăng lên 2.
Vậy tổng số bi ở 5 ô màu hoặc không đổi, hoặc giảm đi 2 hoặc tăng lên 2. Nói cách khác, tổng số bi ở 5 ô màu sẽ không thay đổi tính chẵn lẻ so với ban đầu.
Ban đầu tổng số bi ở 5 ô màu là 5 viên (là số lẻ) nên sau hữu hạn lần di chuyển bi theo quy luật trên thì tổng số bi ở 5 ô màu luôn khác 0 và khác 10, do đó không thể chuyển tất cả các viên bi về cùng 1 ô.
Bài toán 3 :
Mỗi số trong dãy 21, 22, 23, ..., 22005
đều được thay thế bởi tổng các chữ số của nó. Tiếp tục làm như vậy với các số nhận được cho tới khi tất cả các số đều có 1 chữ số. Chứng minh trong dãy này : số các số 2 nhiều hơn số các số 1.
Lời giải : Ta thấy : “Số tự nhiên A và tổng các chữ số của A luôn cùng số dư trong phép chia cho 9”.
Mặt khác ta có : 21 chia cho 9 dư 2 ; 22 chia cho 9 dư 4 ; 23 chia cho 9 dư 8 ; 24 chia cho 9 dư 7 ; 25 chia cho 9 dư 5 ; 26 chia cho 9 dư 1 ; 27 chia cho 9 dư 2 ; ...
Do đó 26k + r lần lượt nhận các số dư trong phép chia cho 9 là 2, 4, 8, 7, 5, 1 tương ứng với các giá trị của r là 1, 2, 3, 4, 5, 0. Dãy cuối cùng nhận được gồm 2005 số thuộc tập hợp {2 ; 4 ; 8 ; 7 ; 5 ; 1}.
Ta có 2005 = 334 x 6 + 1 nên dãy cuối cùng có 335 số 2 (nhiều hơn số các số khác 1 số). Vậy số các số 2 nhiều hơn số các số 1 đúng 1 số.
Bài toán 4 : Một tờ giấy bị cắt nhỏ thành 6 mảnh hoặc 11 mảnh. Các mảnh nhận được lại có thể chọn để cắt
(thành 6 mảnh hoặc 11 mảnh nhỏ hơn) ... Cứ như vậy ta có thể nhận được 2005 mảnh cắt không ?
Lời giải : Sau mỗi lần cắt một mảnh giấy thành 6 mảnh hoặc 11 mảnh thì số mảnh giấy tăng lên là 5 hoặc 10.
Như vậy tính bất biến của bài toán là “số mảnh giấy luôn tăng lên một bội số của 5”. Vậy số mảnh giấy sau các lần cắt có dạng 1 + 5k, mặt khác 2005 có dạng 5k nên với cách cắt như trên, từ một tờ giấy ban đầu, ta không thể cắt được thành 2005 mảnh.
Sau đây là một số bài tập ứng dụng :
Bài 1 : Trên một bảng gồm 4 x 4 ô vuông được viết các dấu cộng và dấu trừ. Đổi dấu đồng thời các ô nằm
trên cùng một hàng hoặc trên cùng một cột hoặc trên các ô dọc theo các đường thẳng song song với một trong hai đường chéo. Bằng cách như vậy ta có thể nhận được bảng chứa toàn dấu cộng không ?
minh rằng : bằng cách đổi dấu đồng thời tại 6 đỉnh liên tiếp bất kì với số lần tùy ý, ta không thể nhận được đa giác mà tại đỉnh A2 viết dấu trừ còn các đỉnh khác viết dấu cộng.
Bài 3 : Cho dãy số 1, 2, 3, ..., 2006. Ta thay đổi vị trí các số theo nguyên tắc : mỗi lần lấy ra 4 số bất kì rồi đặt
chúng vào 4 vị trí cũ nhưng theo thứ tự ngược lại. Bằng cách này, ta có thể sắp xếp dãy số trên về dãy số 2006, 2005, ..., 2, 1 không ?
Bài 4 : Mỗi người sống trên trái đất đã thực hiện một số cái bắt tay nhất định với những người khác. Chứng
minh rằng số người đã thực hiện một số lẻ cái bắt tay là số chẵn.
Bài 5 : Cho các số 1, 2, 3, ..., n sắp xếp theo một thứ tự nào đó. Tiến hành tráo đổi vị trí của hai số bất kì đứng
kề nhau. Chứng minh rằng nếu thực hiện một số lẻ lần như vậy thì không thể nhận được sắp xếp ban đầu.
Bài 6 : Trên bàn cờ 8 x 8 ô, con mã có thể đi được từ ô dưới cùng bên trái đến ô trên cùng bên phải mà đi qua
mỗi ô đúng một lần không ?
8d MỘT LẦN VÀO "BẾP"
Trong quá trình tự học toán, tôi thường “nghiên cứu” rất kĩ những bài toán đơn giản, cố tìm ra điểm mấu chốt của chúng rồi “xào nấu” chúng thành những bài toán “trông có vẻ lạ”. Việc này không những đã giúp tôi khắc sâu kiến thức, rèn luyện khả năng sáng tạo mà còn cho tôi những bài toán thú vị để... đố bạn bè. Xin được giới thiệu với các bạn một lần vào “bếp” của tôi, bắt đầu từ một bài toán rất đơn giản.
Bài toán 1 : Tìm giá trị nhỏ nhất của T = (a + 2003)2 + (b + 2004)2 + (c + 2005)2.
Lời giải : Ta có (a + 2003)2 ≥ 0 với mọi a ; (b + 2004)2 ≥ 0 với mọi b ; (c + 2005)2 ≥ 0 với mọi c. Suy ra T ≥ 0 với mọi a, b, c. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi a = -2003 ; b = -2004 ; c = -2005.
Vậy giá trị nhỏ nhất của T là 0.
Dễ thấy rằng, bài toán trên vẫn đúng khi ta thay các số 2003, 2004, 2005 bởi các số thực bất kì. Từ đó ta có bài toán sau :
Bài toán 2 : Tìm giá trị nhỏ nhất của T = (a + m)2 + (b + n)2 + (c + p)2 với m, n, p là các hằng số.
Hai bài toán trên có cách giải đơn giản (sử dụng tính chất A2 ≥ 0). Bây giờ, nếu thêm điều kiện a + b + c là một hằng số thì ta có thể đề xuất bài toán sau :
m, n, p, q là các hằng số.
Tôi đã thử khá nhiều cách và cuối cùng cũng tìm được lời giải cho bài toán này nhờ sử dụng bất đẳng thức phụ sau : x2 + y2 + z2 ≥ (x + y + z)2/3 với mọi x, y, z (1).
Chứng minh (1) : Với mọi x, y, z ta có x2 + y2 ≥ 2xy ; y2 + z2 ≥ 2yz ; z2 + x2 ≥ 2zx. Cộng theo từng vế 3 bất đẳng thức cùng chiều trên ta được
2(x2 + y2 + z2) ≥ 2(xy + yz + zx) <=> 3(x2 + y2 + z2) ≥ (x + y + z)2 <=> x2 + y2 + z2 ≥ (x + y + z) Đẳng thức xảy ra <=> x = y = z.
Lời giải : Theo bất đẳng thức (1) ta có
T = (a + m)2 + (b + n)2 + (c + p)2 ≥ (a + b + c + m + n + p)2/3 = (m + n + p + q)2/3. Suy ra T ≥ (m + n + p + q)2/3. Vậy giá trị nhỏ nhất của T là (m + n + p + q)2/3, khi đó
Lời giải của bài toán trên vẫn không thay đổi nếu ta thay điều kiện a + b + c = q bởi điều kiện a + b + c ≥ q. Ta có bài toán khá “hóc búa” sau :
Bài toán 4 : Tìm giá trị nhỏ nhất của T = (a + m)2 + (b + n)2 + (c + p)2. Biết a + b + c ≥ q và m, n, p, q là các hằng số.
Cũng vẫn là bài toán trên nhưng điều kiện a + b + c ≥ q được ẩn dưới một điều kiện khác là a, b, c dương và abc ≥ q3, bài toán sẽ trở nên “hóc búa” hơn nhiều :
Bài toán 5 : Tìm giá trị nhỏ nhất của T = (a + m)2 + (b + n)2 + (c + p)2. Biết a, b, c là các số dương, abc ≥ q m, n, p, q là các hằng số.
Hướng dẫn : áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho 3 số dương a, b, c ta có
Việc mở rộng bất đẳng thức (1) cũng đã giúp tôi phát triển thêm chuỗi bài toán này. Ta có hai bất đẳng thức sau :
Chứng minh (2) : áp dụng bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-ski cho 2n số ta có
Vậy theo nguyên lí quy nạp, ta đã chứng minh được (3).
Các bạn thử dùng các bất đẳng thức (1) ; (2) ; (3) để giải các bài toán sau nhé.
Bài toán 6 : Tìm giá trị nhỏ nhất của T = (a1 + b1)2 + (a2 + b2)2 + ... + (a2005 + b2005)2. Biết a1 + a2
2005 và b1, b2, ..., b2005 là các hằng số.
Bài toán 7 : Tìm giá trị nhỏ nhất của T = (a1 + b1)2 + (a2 + b2)2 + ... + (a2006 + b2006)2. Biết a1, a2, ... , a số dương có tích không nhỏ hơn 24012 và b1, b2, ..., b2006 là các hằng số.
Bài toán 8 : Tìm giá trị nhỏ nhất của T = (a + m)2005 + (b + n)2005 + (c + p)2005. Biết a + b + c = 6015 và m, n, p là các hằng số.
Bài toán 9 : Tìm giá trị nhỏ nhất của T = (a + m)2006 + (b + n)2006 + (c + p)2006. Biết a, b, c là các số dương, abc ≥ 54135 và m, n, p là các hằng số.
7h Các bạn học sinh lớp 7 thân mến ! Trong TTT2 số 2 và số 16 đã từng đề cập đến việc sử dụng diện tích trong chứng minh hình học cũng như một số bài toán về diện tích. Trong bài viết này tôi xin nêu thêm một số ứng dụng khác của diện tích tam giác vào việc chứng minh một số dạng bài tập.