Nghe thấy tên loại toán này, nhiều bạn đã ngại và không thích lắm. Tuy nhiên, loại toán này lại rất hay gặp trong các kì thi tốt nghiệp và thi vào lớp 10.
Để giải quyết tốt loại toán này, các bạn cần nắm vững : * Các phép toán của đa thức và phân thức đại số.
* Các hằng đẳng thức đáng nhớ.
* Các phương pháp đưa biểu thức về dạng tích. * Điều kiện để các biểu thức có nghĩa.
Thông thường bài toán rút gọn biểu thức còn được đi kèm theo các yêu cầu khác : * Chứng minh bất đẳng thức.
* Giải phương trình hoặc bất phương trình. * So sánh hai biểu thức.
* Tìm điều kiện để biểu thức nhận giá trị nguyên.
* Tính giá trị của biểu thức khi cho giá trị cụ thể của các chữ trong biểu thức. * Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của biểu thức.
Thí dụ 1 : Cho : 1) Rút gọn P . 2) Chứng minh : Nếu 0 < x < 1 thì P > 0. 3) Tìm giá trị lớn nhất của P. Lời giải :
1) Điều kiện để P có nghĩa : x 0 và x khác 1. Khi đó ta có:
. 2) Nếu 0 < x < 1 thì : 3) Đẳng thức xảy ra Do đó : P lớn nhất là 1/4 khi x = 1/4 Thí dụ 2 : Cho biểu thức :
1) Rút gọn Q.
2) Tính giá trị của Q khi |x| = 2. 3) Tìm x nguyên để Q là số nguyên.
Lời giải :
1) Điều kiện để Q có nghĩa là : Khi đó ta có :
2) Nếu |x| = 2 thì x2 = 4. Do đó Q = 4.
3) Vì Q = x2/(x2 - 3) = 1 + 3/(x2 - 3) nên Q là số nguyên khi và chỉ khi x2 - 3 là số nguyên. Ta có x là số nguyên thì x2 - 3 là số nguyên, => x2 - 3 là ước của 3. Từ đó x2 - 3 = 3; -3 hoặc x2 - 3 = 1; -1 ;
Vậy các số nguyên cần tìm là : x = 2; - 2
Thí dụ 3 : Cho biểu thức :
1) Rút gọn A. 2) So sánh A và
Lời giải :
2) Vì x khác y và x, y lớn hơn bằng 0 nên :
Cuối cùng, các bạn có thể tự giải các bài tập sau đây.
Bài 1 : Cho biểu thức :
1) Tìm x sao cho P > 2. 2) So sánh P với 1,5.
Bài 2 : Rút gọn biểu thức.
Từ đó tìm số nguyên x sao cho T nhận giá trị nguyên.
Nếu a + b + c = 0 và abc khác 0 thì :
Bài 4 : Cho :
8d TỪ MỘT PHÉP BIẾN ĐỔI TRUNG GIAN
TRONG PHÉP CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC TRÊ - BƯ - SÉP (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Sau khi đọc xong bài báo “Làm quen với bất đẳng thức Trê-bư-sép” của tác giả Lê Võ Việt Khang (TTT2 số 4), dựa vào kết quả trung gian : nếu a1 ≥ a2 và b1 ≥ b2 thì a1b1 + a2b2 ≥ a1b2 + a2b1, em đã chứng minh được kết quả sau.
Cho hai bộ số dương a1 ≥ a2 ≥ a3 và b1 ≥ b2 ≥ b3. Khi đó : Nếu ta đặt A = a1b1 + a2b2 + a3b3 ; B = a1b1 + a2b3 + a3b2 C = a1b2 + a2b1 + a3b3 ; D = a1b2 + a2b3 + a3b1 E = a1b3 + a2b1 + a3b2 ; F = a1b3 + a2b2 + a3b1 Thì A ≥ B ; A ≥ C ; B ≥ D ; B ≥ E ; C ≥ D ; C ≥ E ; D ≥ F ; E ≥ F.
Thật vậy, do a2 ≥ a3 và b2 ≥ b3 => a2b2 + a3b3 ≥ a2b3 + a3b2 => A ≥ B. Các kết quả khác chứng minh hoàn toàn tương tự.
Như vậy, trong các tổng trên thì A có giá trị lớn nhất và F có giá trị nhỏ nhất. Dựa vào kết quả này, ta chứng minh được khá nhiều bất đẳng thức khác.
Bài toán 1 : Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng :
3abc ≤ a3b/c + b3c/a + c3a/b + a3c/b + b3a/c + c3b/a
Lời giải : Do vai trò của a, b, c như nhau, không mất tính tổng quát, giả sử b ≥ a ≥ c.
=> a2b2 ≥ b2c2 ≥c2a2 và b/ac≥ a/bc≥ c/ab áp dụng kết quả trên cho hai bộ số này, ta có :
a2b2. c/ab + b2c2. a/bc + c2a2.b/ac ≤ a2b2.b/ac + b2c2. a/bc + c2a2. c/ab Hay 3abc ≤ a3c/b + b3a/c + c3b/a (1)
Tương tự 3abc ≤ a3b/c + b3c/a + c3a/b + a3c/b (2) Cộng từng vế (1) và (2) ta có đpcm.
Bài toán 2 : Cho a, b, c là các số dương.
Đặt P = a + b + c ; R = a3/(bc) + b3/(ca) + c3/(ab) ; Q = (a2 + b2)/(2c) = (b2 + c2)/(2a) + (c2 + a2)/(2b) . Chứng minh rằng : P ≤ Q ≤ R.
Hướng dẫn : Giả sử a ≥ b ≥ c.
áp dụng kết quả trên cho hai bộ số : a2 ≥ b2 ≥ c2 ; và 1/c ≥ 1/b ≥ 1/a , ta có:
a2.(1/a) + b2.(1/b) + c2.(1/c) ≤ a2.(1/b) + b2.(1/c) + c2.(1/a) (1) a2.(1/a) + b2.(1/b) + c2.(1/c) ≤ a2.(1/c) + b2.(1/a) + c2.(1/b) (2) Cộng từng vế (1) và (2), => :
2(a + b + c) ≤ (a2 + b2)/c + (b2 + c2)/a + (c2 + a2)/b ; => P ≤ Q (3)
Lại áp dụng kết quả trên cho hai bộ số : a3 ≥ b3 ≥ c3 và a/(abc) ≥ b/(abc) ≥ c/(abc) => R ≥ Q (4)
Từ (3), (4) => P ≤ Q ≤ R (đpcm).
Bài toán 3 : Cho a, b, c là các số dương. Chứng minh rằng:
(a8 + b8 + c8)/(a3b3c3) ≥ 1/a + 1/b + 1/c
Hướng dẫn : áp dụng kết quả ban đầu cho :
a5 ≥ b5 ≥ c5 và 1/(b3c3) ≥ 1/(a3c3) ≥ 1/(a3b3) a2 ≥ b2 ≥ c2 và 1/c3 ≥ 1/b3 ≥ 1/a3.
Rất mong các bạn hãy khám phá tiếp !
8h CÁC BÀI TOÁN VỀ DIỆN TÍCH
Qua kinh nghiệm giảng dạy, tôi thấy học sinh thường lúng túng khi gặp bài toán tính toán hoặc so sánh diện tích các hình. Có nhiều phương pháp lựa chọn để giải quyết dạng toán này. Tôi xin nêu một vài “tình huống” để các bạn tham khảo.
1. Tính qua tam giác tương đương. Để tính diện tích của một tam giác ta có thể dẫn đến tính diện tích của một tam giác tương đương (có cùng diện tích).
Thí dụ 1 : Cho hình chữ nhật ABCD có BC = a ; AB = b. Kẻ CK ⊥ BD. Tính diện tích tam giác AKD (S
theo a và b ?
Lời giải : Vì ABCD là hình chữ nhật nên 2SABD = a.b = 2SCBD => SABD = SCBD. Mặt khác, ∆ABD và ẂCBD có chung cạnh BD nên khoảng cách từ A và C xuống BD bằng nhau.
Suy ra ∆AKD và ∆CKD có chung cạnh KD và các đường cao hạ xuống KD bằng nhau. Vậy SAKD (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
KD . KC
∆BCD vuông tại C, đường cao CK suy ra :
Thay (1) và (2) vào (*) ta có :