C. Một số bài tập.
2. Dự đoán được quỹ tích điểm M có dạng tròn (đường tròn cung tròn) ta có chọn lựa các cách chứng minh
sau :
- Chứng minh điểm M luôn luôn cách một điểm cố định O cố định một khoảng không đổi. - Dựa vào quỹ tích cung chứa góc.
- Chọn 3 điểm A, B, C cố định. Chứng minh tứ giác ABCM nội tiếp => M thuộc đường tròn đi qua A, B, C.
Ví dụ 2 :. Cho nửa đường tròn đường kính AOB. Một điểm M chuyển động trên nửa đường tròn. Dựng hình
vuông BMNP ở nửa mặt phẳng bờ BM không chứa O. Tìm {N}.
Cách 1 : Chứng minh A, M, N thẳng hàng => góc ANB = 45o => N cung chứa góc 45o vẽ trên AB.
Cách 2 : Trên tiếp tuyến Ax lấy AN1 = AB. Nối N1B => Đ AN1B = 45o mà Đ ANB = 45o => tứ giác AN nội tiếp mà A, N1, B cố định, vậy N thuộc đường tròn đi qua A, N1, B.
Cách 3 : Chứng minh Đ BNN1 = 45o => N thuộc đường tròn đường kính BN1. Giới hạn lại ta đều có quỹ tích N là nửa đường tròn đường kính BN1.
Cách 4 : Kéo dài PM cắt đường tròn tại I. Dễ chứng minh I là trung điểm => I cố định. Mà IN = IB => N
thuộc đường tròn tâm I, bán kính IB.
Chú ý : Do mệnh đề thuận và mệnh đề phản đảo là tương đương nên có những khi người ta đã thay phần
thuận bởi mệnh đề phản đảo, cụ thể là : Chứng minh M không thuộc F thì M không có tính chất a.
Ví dụ 3 : Cho góc nhọn yOx. Tìm quỹ tích những điểm M nằm ở miền trong của góc sao cho tỉ số các khoảng
cách từ M tới Ox và từ M tới Oy là 1 : 2.
Bài giải :
1. Đảo : Lấy A thuộc Ox ; B thuộc Oy sao cho OA = OB. Lấy H cố định thuộc AB sao cho HA : HB = 1 : 2.
Hạ HE vuông góc với Ox, Hfvuong góc với Oy.
Rõ ràng tam giác vuông HEA đồng dạng với tam giác vuông HFB (g.g) nên HE/HF = HA/HB = 1/2. Lấy M bất kì thuộc tia OH. Hạ MP vuông góc với Ox, MQ vuông góc với Oy.
Ta có : MP/HE = MQ/HF => MP/MQ = HE/HF = 1/2.
2. Thuận :
Lấy M ’ không thuộc tia OH ta chứng minh tỉ số M 'P '/M 'Q ' không bằng 1/2(dễ dàng) Vậy quỹ tích điểm M là tia OH.
Dưới đây xin nêu một số bài tập quỹ tích để các bạn tham khảo.
Bài 1 : Cho đoạn thẳng AB. Một điểm C chuyển động trên AB. Lấy AC và BC làm cạnh dựng hai hình vuông
về cùng một phía của AB. Tìm quỹ tích trung điểm M của đoạn thẳng nối tâm hai hình vuông (quỹ tích M là một đoạn thẳng // AB và cách AB một khoảng AB/4).
Bài 2 : Cho đoạn thẳng AB. Một điểm C chuyển động trên AB. Lấy AC và BC làm cạnh dựng hai tam giác
là một đoạn thẳng // AB, cách AB một khoảng ).
Bài 3 : Cho đường tròn (O ; R) và một đường thẳng d cắt (O) ở A và B. Một điểm M chuyển động trên d. Từ
M kẻ 2 tiếp tuyến MP và MQ với đường tròn. Tìm quỹ tích tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác MNP. (Quỹ tích là 2 tia // d và cách d một đoạn bằng OK/2 với OK vuông góc với d).
Bài 4 : Cho nửa đường tròn đường kính AOB. Một điểm M chuyển động trên nửa đường tròn. Dựng tam giác
đều BMC về nửa mặt phẳng bờ BM không chứa O. a) Tìm quỹ tích đỉnh C (Cung chứa góc 60o).
b) Tìm quỹ tích trung điểm H của MC (cung chứa góc 90o).
c) Tìm quỹ tích trọng tâm G của tam giác đều BMC (một nửa đường tròn).
Bài 5 : Cho góc xOy. Tìm quỹ tích các điểm M ở miền trong của góc xOy sao cho tổng các khoảng cách từ M
tới Ox, Oy là một hằng số h đã cho. (Đoạn AB với A thuộc Ox, B thuộc Oy sao cho A cách Oy một đoạn là h ; B cách Oy một đoạn là h)
9d CÓ BAO NHIÊU CÁCH CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC CÔ-SI ?
Bài toán chứng minh bất đẳng thức Cô-si cho ba số không âm là bài toán tương đối khó với học sinh THCS. Xin được giới thiệu với các bạn ba cách chứng minh bất đẳng thức này.
Bài toán : Cho a, b, c 0. Chứng minh rằng : Cách 1.
Bài toán phụ : Cho x, y, z, t 0. Chứng minh rằng : (bất đẳng thức Cô-si cho bốn số không âm).
Thật vậy, áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm, ta có :
Do đó :
+ Trường hợp một trong ba số a, b, c bằng 0, bài toán được chứng minh. + Trường hợp a, b, c đều khác 0, ta có a + b + c > 0. Do đó :
Cách 2. Sử dụng kết quả : x3 + y3 + z3 - 3xyz = = 1/2 (x + y + z)[(x - y)2 + (y - z)2 + (z - x)2], => x 3xyz 0 với x, y, z 0
Cách 3.. áp dụng bất đẳng thức Cô-si cho hai số không âm, ta có :
9d CÁCH CHỨNG MINH HAY NHẤT
Sau khi đọc bài “Có bao nhiêu cách chứng minh bất đẳng thức Cô-si” (cho 3 số không âm) với 3 cách chứng minh của tác giả Tạ Thập, tôi xin được góp thêm một cách chứng minh khác.
Với a = b = c = 0, bất đẳng thức hiển nhiên đúng.
Ngược lại, không mất tính tổng quát, giả sử : 0 < a ≤ b ≤ c. Khi đó : 0 < a ≤ (a + b + c)/3 ≤ c. Do đó : [(a + b + c)/3 - a].[c - (a + b + c)/3 ] ≥ 0
Tương đương với : a + c - (a + b + c)/3 ≥ ac/(a + b + c)/3 ≥ 0. Dễ thấy : {[b + a + c - (a + b + c)/3 ]/2}2 ≥ b[a + c - (a + b + c)/3] => : [(a + b + c)/3]2 ≥ abc/(a + b + c)/3 hay (a + b + c)/3 ≥ (abc)1/3.
Từ đây ta có một lời giải đơn giản cho bất đẳng thức Cô-si dạng tổng quát :
Lời giải : Với a1 = a2 = ... = an = 0 thì bất đẳng thức đúng. Ngược lại :
Dễ thấy bất đẳng thức đúng trong trường hợp 2 số không âm. Giả sử bất đẳng thức đúng trong trường hợp n - 1 số không âm (giả thiết quy nạp).
Không mất tính tổng quát, giả sử : 0 < a1 a2 ≤ ... ≤ an, ta có : 0 < a1 ≤ T = (a1 + a2 + …+ an)/n ≤ an
Do đó : (T - a1)(an - T) ≥ 0
Tương đương với a1 + an - T ≥ a1an / T ≥ 0.
Xét n - 1 số không âm a2, a3, ... , an-1, a1 + an - T. Theo giả thiết quy nạp ta có : {[ a2 + a3 + … + an + (a1 + an - T)]/(n - 1)}n - 1 ≥ a2a3an - 1(a1 + an - T)
=> :
Tn - 1 ≥ a2a3an - 1(a1 + an - T) ≥ a2a3…an - 1.(a1an / T) => :
Theo nguyên lí quy nạp, bất đẳng thức Cô-si trong trường hợp tổng quát đã được chứng minh. 9d ĐỊNH LÍ VI-ET THUẬN
Các bài toán liên quan tới định lí Vi-et rất thường gặp trong các kì thi tốt nghiệp THCS và thi vào lớp 10. ở bài viết này chúng ta cùng ôn tập những bài toán cơ bản nhất. Trước hết ta nhớ lại định li Vi-et thuận : “Nếu phương trình ax2 + bx + c = 0 (a ≠ 0) có nghiệm x1, x2 thì x1 + x2 = - b/a và x1x2 = c/a ”.
Chú ý : Nhiều bạn khi sử dụng định lí này đã quên mất giả thiết a ≠ 0 và Δ ≥ 0 nên dẫn tới những sai lầm đáng
tiếc.
Thí dụ 1 : Gọi x1, x2 là các nghiệm của phương trình x2 - x - 1 = 0. 1) Tính x12 + x22.
2) Chứng minh Q = x12 + x22 + x14 + x24 chia hết cho 5.
Giải : Phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt x1 và x2 vì Δ = 5 > 0 (hoặc a.c = -1 < 0). Theo định lí Vi-et ta có x1 + x2 = 1 và x1x2 = -1.
1) x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x1x2 = 12 - 2(-1) = 3.
2) Q = (x12 + x22) + (x12 + x22)2 - 2x12x22 = 3 + 32 - 2(-1)2 = 10 => Q chia hết cho 5.
Chú ý : Các bạn giỏi có thể chứng minh Q = x12001 + x22001 + x12003 + x22003 cũng chia hết cho 5 (Đề thi HSG lớp 9 tỉnh Nam Định).
Thí dụ 2 : Giả sử x1, x2 là các nghiệm của phương trình x2 - (m + 1)x + m2 - 2m + 2 = 0. Tìm m để F = x x22 đạt giá trị nhỏ nhất.
Giải : Trước hết, phương trình có nghiệm tương đương với Δ ≥ 0 tương đương với (m + 1)2 - 4(m 0 hay 3m2 + 10 - 7 ≥ 0 hay 1 ≤ m ≤ 7/3 . Theo định lí Vi-et ta có x1 + x2 = m + 1 và x1x2 = m2 - 2m + 2. Do đó F = x12 + x22 = (x1 + x2)2 - 2x 1)2 - 2(m2 - 2m + 2) = -m2 + 6m - 3 = -(m - 3)2 + 6. Với 1≤ m ≤ thì - 2 ≤ m - 3 ≤ - 2/3. => (m - 3)2 ≤ 4 => -(m - 3)2 ≥ -4 => F = -(m - 3)2 + 6 ≥ 2.
Vì F = 2 tương đương với m = 1, nên F đạt giá trị nhỏ nhất bằng 2 khi m = 1.
Chú ý : Nếu các bạn “quên” điều kiện Δ ≥ 0 thì sẽ dẫn đến... F không có giá trị nhỏ nhất !
Thí dụ 3 : Tìm số nguyên m sao cho phương trình mx2 - 2(m + 3)x + m + 2 = 0 có nghiệm x1, x = 1/ x1 + 1/ x2 là số nguyên.
Giải : Phương trình có nghiệm x1, x2
Theo định lí Vi-et thì x1 + x2 = 2(m + 3)/m và x1.x2 = (m + 2)/m Do đó : F = 1/x1 + 1/x2 = 2(m + 3)/(m + 2) = 2 + 2/(m + 2) Ta thấy F là số nguyên hay m + 2 là ước của 2
Vì m ≥ - 9/4 nên m = 0 ; m = 1 ; m = -1 thỏa mãn bài toán.
Thí dụ 4 : Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm phân biệt của phương trình : x2 - (m + 3)x + 2m - 5 = 0 mà hệ thức này không phụ thuộc m.
Giải : Ta có Δ = (m + 3)2 - 4(2m - 5) = m2 - 2m + 14 = (m - 1)2 + 13 > 0 với mọi m. Chứng tỏ phương trình luôn có hai nghiệm x1 và x2. Theo định lí Vi-et thì :
Khử m ta có : 2(x1+x2) - x1x2 = 11.
Thí dụ 5 : Tìm m để phương trình : x2 - mx + m2 - 7 = 0 có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
Giải : Phương trình có nghiệm x1, x2
Tương đương với Δ ≥ 0 hay m2 - 4(m2 - 7) ≥ 0 hay 28 ≥ 3m2
Giả sử x1 = 2x2 thì :
Khử x2 bằng phép thế ta có :
2.(m/2)2 = m2 - 7 tương đương với 2m2 = 9m2 - 63 hay m>sup>2 - 9 hay là m = - 3 hoặc m = 3 (thoả mãn). Vậy có 2 giá trị của m thỏa mãn là m = 3 và m = -3 .
Thí dụ 6 : Cho phương trình : x2 - mx + m2 - 3 = 0 1) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt.
2) Tim m để phương trình chỉ có một nghiệm là nghiệm dương.
Giải :
1) Phương trình có 2 nghiệm dương phân biệt
2) Phương trình chỉ có một nghiệm là nghiệm dương trong các khả năng sau đây : Khả năng 1 : 0 = x1 < x2
Khả năng 2 : x1 < 0 < x2
Khả năng 3 : 0 < x1 = x2
Tóm lại : Phương trình chỉ có một nghiệm là nghiệm dương hoặc m = 2. Các bạn hãy làm thêm một số bài tập :
1. Cho phương trình : x2 - 2(m + 1)x + m2 + 3m + 2 = 0.
a) Tìm m để phương trình có nghiệm x1, x2 thỏa mãn x12 + x22 = 12. b) Tìm hệ thức liên hệ giữa x1 và x2 không phụ thuộc m.