C. Một số bài tập.
CỦA HÌNH THANG
Trong chương trình hình học 8, phần hình thang, có một định lí quan trọng.
Định lí 1 : Đường trung bình của hình thang song song với hai đáy và có độ dài bằng nửa tổng hai đáy.
Sau khi có định lí Talét, định lí 1 được mở rộng thành một định lí mới với nhiều ứng dụng quan trọng. Bài viết này xin giới thiệu với bạn đọc định lí mới đó và một vài ứng dụng của nó.
Định lí 2 : Cho hình thang ABCD. Các điểm M, N thuộc các cạnh bên AD, BC và thỏa mãn điều kiện MA/MD = NB/NC = m/n. Khi đó, ta có :
a) MN song song với AB, DC. b) MN = (nAB + mDC)/(m + n)
Chứng minh : Đặt E là giao điểm của AN và DC (hình 1)
a) Vì AB // DC nên : AN/EN = BN/CN (1) Theo giả thiết : BN/CN = AM/DM (2)
Từ (1), (2) => : AN/EN = AM/DM => MN // DC, AB (định lí Talét đảo) b) Theo định lí Talét thuận, ta có :
MN = AM/AD . DE = AM/AD . (DC + CE) = AM/AD . (DC + CE/AB . AB) = AM/AD . (DC + CN/BN . AB) (3)
Từ giả thiết ta có : MA/MD = NB/NC = m/n , ta có : AM/AD = m/(m + n) và CN/BN = n/m (4) . Từ (3), (4) => :
MN = m / (m + n) . (DC+ n/m.AB) => MN = (nAB + mCD)/(m + n) Định lí 2 đã được chứng minh. Dưới đây là một vài ứng dụng của nó.
Bài toán 1 : Cho tam giác ABC, các phân giác BE, CF. Điểm M thuộc đoạn EF. H, K, L là hình chiếu của
Lời giải :
+ Gọi X, Y là hình chiếu của E, F trên BC ; Z là hình chiếu của F trên CA ; T là hình chiếu của E trên AB
(hình 2).
+ Vì BE, CF là các đường phân giác của ΔABC nên ta có : EX = ET ; FY = FZ (1) Đặt ME/MF = m/n . Theo định lí (2), ta có : MH = (nEX + mFY)/(m + n) (2) áp dụng định lí Talét cho các tam giác EFZ và EFT, ta có :
MK = m/(m + n).FZ ; ML = n/(m + n). ET (3)
Từ (1), (2), (3) => : MH = n/(m + n).ET + m/(m + n).EZ = ML + MK (đpcm).
Bài toán 2 : Cho tam giác ABC nhọn, phân giác BE, CF, đường cao BH, CK. O, I theo thứ tự là tâm các
đường tròn ngoại tiếp, nội tiếp. Chứng minh rằng : I, H, K thẳng hàng khi và chỉ khi O, E, F thẳng hàng.
Để giải BT2, ta không chỉ cần BT1 mà cần có thêm bổ đề sau.
Bổ đề 1 : Cho tứ giác ABCD nội tiếp đường tròn. Đường phân giác của các góc DAB , CBA và đường
thẳng CD đồng quy khi và chỉ khi DA + CB = DC.
Việc chứng minh bổ đề trên khá dễ dàng, xin dành cho bạn đọc.
Gọi X, Y, Z là hình chiếu của O trên BC, CA, AB (hình 3). Vì O là tâm đường tròn ngoại tiếp ΔABC => ABC = AOY = 1/2 AOC . => ΔBKC đồng dạng với ΔOYK ; tương tự : ΔCHB đồng dạng với ΔOZA ; ΔOXB đồng dạng với ΔAKC
=> BK/BC = OY/OA ; CH/CB = OZ/OA ; OX/OB = AK/AC (1)
Tứ giác BCKH nội tiếp => ΔAHK đồng dạng với ΔABC => HK/BC = AK/AC , từ (1) => HK/BC = OX/OB (2)
Vì tứ giác BCHK nội tiếp nên theo BĐ1, ta có : I, H, K thẳng hàng tương đương BK + CH = HK Bài toán dưới đây là đề dự tuyển IMO năm 1998, do Ba Lan đề xuất.
Bài toán 3 : Cho tứ giác nội tiếp ABCD. Các điểm E, F theo thứ tự thay đổi trên các cạnh AB, CD sao
cho AE/BE = CF/DF . Điểm P thuộc đoạn EF sao cho PE/PF = AB/CD . Chứng minh rằng : S(PAD) / S(PBC) không phụ thuộc vào E, F (S(.) chỉ diện tích của tam giác)
Lời giải : Gọi P1, E1, F1 là hình chiếu của P, E, F trên AD ; P, E, F là hình chiếu của P, E, F trên BC (hình 4).
Theo định lí 2, ta có :