D H AN = 2S AN (1) I CM = 2 SCM (2)
NGƯỜI ANH EM SONG SINH
Ai cũng biết tính chất của đường phân giác trong của tam giác, thể hiện qua bài toán sau.
Bài toán 1 : Cho tam giác ABC, phân giác AD. Chứng minh rằng DB/DC = AB/AC .
Bài toán sau là sự mở rộng của bài toán 1.
Bài toán 2 : Cho tam giác ABC. Các điểm M, N thuộc đoạn BC và thỏa mãn điều kiện BAM = CAN.
Chứng minh rằng :
Có một bài toán khác liên quan đến đường phân giác trong của tam giác và luôn đi cùng với bài toán 1 như hai anh em sinh đôi.
Bài toán 3 : Cho tam giác ABC, phân giác AD. Chứng minh rằng :
AD2 = AB . AC - DB . DC.
Tôi đã biết các bài toán 1, 2, 3 từ thuở học lớp 8 và cũng từ lúc đó tôi đã luôn nghĩ rằng bài toán 2 cũng phải có người anh em sinh đôi của nó. Nhưng cái người anh em ấy của bài toán 2 thì tôi vẫn không hình dung được mặt mũi nó ra sao. Cứ như vậy sau hơn một năm quan tâm và tìm kiếm tôi đã tìm thấy nó, người anh em sinh đôi “thân thiết” của bài toán 2.
Bài toán 4 : Cho tam giác ABC, hai điểm M, N thuộc đoạn BC và thỏa mãn điều kiện BAM = CAN .
Chứng minh rằng :
Lời giải : Lấy P, Q là các giao điểm thứ hai của AM, AN với đường tròn ngoại tiếp ΔABC.
Ta có : BCP = BAP = CAQ = CPQ
=> PQ // BC => AM/MP = AN/NQ (định lí Ta-lét) AM/MP . NQ/AN = 1 (1)
Ta dễ dàng chứng minh một số cặp tam giác đồng dạng và dẫn đến một số đẳng thức như sau : ΔAMC đồng dạng với ΔBMP => AM . MP = BM . CM (2)
ΔANB đồng dạng với ΔCNQ => AN . NQ = BN . CN (3) ΔAMB đồng dạng với ΔACQ => AM . AQ = AB . AC (4) Từ đó => :
Vậy ta chứng minh xong bài toán.
Mở rộng bài toán : Cho M, N thuộc tia đối của tia BC sao cho BAM + CAN = 180o. Khi đó :
(Lời giải bài toán này gần tương tự như bài toán đầu tiên).
Các bài toán 1, 2, 3, 4 có rất nhiều ứng dụng trong việc giải bài toán khác. Tuy nhiên do khuôn khổ có hạn của bài báo xin dừng lại ở đây.
Lương Thế Vinh
(Lớp 10A1, Khối PTCTT, ĐHSPHN)