D H AN = 2S AN (1) I CM = 2 SCM (2)
XOAY QUANH MỘT BÀI TOÁN HÌNH HỌC
Bài toán : Cho tam giác ABC, trên cạnh BC lấy hai điểm D, E sao cho BD = CE. Chứng minh rằng nếu
BAD = CAE thì tam giác ABC là tam giác cân.
Từ D vẽ DF // AC, từ E vẽ EG // AB ta chứng minh được DF/EG = AC/AB (1) ; ΔADF đồng dạng với ΔAEG (g. g) => DF/EG = AD/AE (2)
Từ (1) và (2) có AC/AB = AD/AE => ΔADC đồng dạng với ΔAEB (c. g. c). => ABC = ACB.
Cách 2 : (Trương Sơn Ca)
Giả sử B > C => AC > AB => AC/AB > 1. Vẽ M thuộc AD sao cho ABM = ACE. Có M1 = góc E1 => M2 = E2 ; góc D1 > E2 = M2 . => BM > BD => BD/BM < 1 . (1) ΔABM đồng dạng với ΔACE => AB/AC = BM/EC
=> EC/BM = BD/BM = AC/AB > 1 . (2) (1) và (2) mâu thuẫn. Từ đó ta có đpcm.
Cách 3 : (Nguyễn Quang Hùng)
Từ D và E lần lượt vẽ DF vuông góc với AB ; EG vuông góc với AC. BD = CE => SABD = SACE => AB.DF = AC.EG => DF/EG = AC/AB (1). ΔADF đồng dạng với ΔAEG => DF/EG = AD/AE (2)
Từ (1) và (2) => AC/AB = AD/AE , cho ta ΔABE đồng dạng với ΔACD => ABE = ACD.
Cách 4 : (Minh Quân)
Vẽ hình bình hành ABEF => BE = AF. Chứng minh được tứ giác ADCF là hình bình hành => EFC = BAD = EAC (gt).
ΔAEG đồng dạng với ΔFCG (g. g) => AG/FG = EG/CG (1) Do AG/GC = FG/GE (AF // EC) => AG/FG = EG/CG (2)
Từ (1) và (2) có EG = GC cân tại G => ΔGEC cân tại G => FEC = ACE => ABC = ACB.
Vẽ BH, CK là các đường cao của các tam giác ABD, ACE. BD = CE => SABD = SACE => BH/CK = AE/AD ΔABH đồng dạng với ΔACK => BH/CK = AB/AC
ΔABE đồng dạng với ΔACD ( BAE = CAD , AB/AC = AE/AD) => ABE = ACD => Δ ABC cân tại A.
Cách 6 : (Bảo Linh)
Qua B vẽ đường thẳng song song AC cắt AD tại M, qua C vẽ đường thẳng song song AB cắt AE tại N. ΔABM đồng dạng với ΔACN (g. g) => AB/AC = BM/CN (1)
ΔADC có BM // AC => AC/BM = BE/BD ΔABE có CN // AB => AB/CN = BE/EC
Do đó có AB/AC = CN/BM (2) Từ (1) và (2) có AB/AC.AB/AC = BM/CN.CN/BM => AB2/AC2 = 1 => AB = AC.
Các bạn còn tìm thêm cách giải nào nữa chăng ?