1. Phỏt biểu bài toỏn đối ngẫu Phỏt biểu bài toỏn
1.3. Quy tắc viết bài toỏn đối ngẫu tổng quỏt
Xột cặp bài toỏn gốc và bài toỏn đối ngẫu trong vớ dụ 1 được cho trong bảng III.1.
Nhận xột. BTG là bài toỏn Max ⇒ BTĐN là bài toỏn Min.
– Cỏc hệ số hàm mục tiờu của BTG ⇒ Cỏc hệ số vế phải của BTĐN. – Cỏc hệ số vế phải của BTG ⇒ Cỏc hệ số hàm mục tiờu của BTĐN. – Ma trận hệ số của BTG là A ⇒ Ma trận hệ số của BTĐN là AT. – Biến ≥ 0của BTG(3.2) ⇒ Ràng buộc ≥ của BTĐN (3.2’).
– Ràng buộc ≤ BTG(3.1) ⇒ Biến ≥ 0của BTĐN (3.1’).
Bảng III.1. Cặp bài toỏn gốc và bài toỏn đối ngẫu
Bài toỏn gốc (BTG) Bài toỏn đối ngẫu (BTĐN)
Max z = 2x1 + 4x2 + 3x3 với cỏc ràng buộc: 3x1 + 4x2 + 2x3 ≤ 60 2x1 + x2 + 2x3 ≤ 40 (3.1) x1 + 3x2 + 2x3 ≤ 80 x1, x2, x3 ≥ 0 (3.2)
Min u = 60y1 + 40y2 + 80y3 với cỏc ràng buộc:
3y1 + 2y2 + y3 ≥ 2
4y1 + y2 + 3y3 ≥ 4 (3.2’) 2y1 + 2y2 + 2y3 ≥ 3
y1, y2, y3 ≥ 0 (3.1’) Từ cỏc nhận xột trờn đõy, chỳng ta xem xột cỏc quy tắc viết bài toỏn đối ngẫu cho một BTQHTT dạng tổng quỏt.
Xột bài toỏn gốc là BTQHTT dạng tổng quỏt sau đõy: z = c1x1 + c2x2 + .... + cnxn → Max
với cỏc điều kiện ràng buộc:
a11x1 + a12x2 + ... + a1nxn Θ b1 a21x1 + a22x2 + ... + a2nxn Θ b2 ... am1x1+ am2x2 + ... + amnxn Θ bm
x1 Θ 0, x2Θ 0, ..., xn Θ 0 .
Trong đú, ký hiệu Θ cú thể hiểu là ≤ , ≥ hoặc = đối với cỏc ràng buộc. Đối với điều kiện về dấu của cỏc biến, ký hiệu Θ 0 cú thể hiểu là ≥ 0, ≤ 0 hoặc cú dấu tuỳ ý.
Sau đõy là cỏc quy tắc viết bài toỏn đối ngẫu tổng quỏt:
Quy tắc 1: BTG là bài toỏn Max ⇒ BTĐN là bài toỏn Min.
Quy tắc 2: Cỏc hệ số hàm mục tiờu của BTG ⇒ Cỏc hệ số vế phải của BTĐN. Quy tắc 3: Cỏc hệ số vế phải của BTG ⇒ Cỏc hệ số hàm mục tiờu của BTĐN. Quy tắc 4: Ma trận hệ số của BTG là A ⇒ Ma trận hệ số của BTĐN là AT. Quy tắc 5:
– Biến ≥ 0của BTG ⇒ Ràng buộc ≥ của BTĐN. – Biến ≤ 0của BTG ⇒ Ràng buộc ≤ của BTĐN.
– Biến cú dấu tuỳ ýcủa BTG⇒ Ràng buộc = của BTĐN. Quy tắc 6:
– Ràng buộc ≤ BTG ⇒ Biến ≥ 0của BTĐN. – Ràng buộc ≥ BTG⇒ Biến ≤ 0của BTĐN.
Chỳ ý. Cỏc quy tắc viết bài toỏn đối ngẫu tổng quỏt trờn đõy được ỏp dụng khi bài toỏn gốc đó cho là BTQHTT dạng Max. Trong mục 1.4 (tớnh chất 1) ngay tiếp theo, chỳng ta sẽ mở rộng cỏc quy tắc này cho BTQHTT dạng Min. Bảng III.2 sau đõy cho biết cỏch viết bài toỏn đối ngẫu trong một trường hợp cụ thể.
Bảng III.2. Viết bài toỏn đối ngẫu cho bài toỏn gốc dạng Max
Bài toỏn gốc (BTG) Bài toỏn đối ngẫu (BTĐN)
Max z = 2x1 + 4x2 + 3x3 với cỏc ràng buộc: 3x1 + 4x2 + 2x3 ≤ 60 2x1 + x2 + 2x3 = 40 (3.3) x1 + 3x2 + 2x3 ≥ 80 x1 ≥ 0, x2 ≤ 0, x3 dấu tuỳ ý. (3.4)
Min u = 60y1 + 40y2 + 80y3 với cỏc ràng buộc:
3y1 + 2y2 + y3 ≥ 2
4y1 + y2 + 3y3 ≤ 4 (3.4’) 2y1 + 2y2 + 2y3 = 3
y1 ≥ 0, y2 dấu tuỳ ý, y3 ≤ 0. (3.3’)