1. Phỏt biểu bài toỏn đối ngẫu Phỏt biểu bài toỏn
1.2. nghĩa của bài toỏn đối ngẫu Vớ dụ 1 Xột bài toỏn gốc
Vớ dụ 1. Xột bài toỏn gốc Max z = 2x1 + 4x2 + 3x3 với cỏc ràng buộc 3x1 + 4x2 + 2x3 ≤ 60 2x1 + x2 + 2x3 ≤ 40 x1 + 3x2 + 2x3 ≤ 80 x1, x2, x3 ≥ 0.
Cần tỡm cỏc giỏ trị của cỏc biến quyết định x1, x2, x3 để cỏc ràng buộc được thoả món và hàm mục tiờu đạt giỏ trị lớn nhất.
Bài toỏn này cú ý nghĩa kinh tế như sau: Giả sử một xớ nghiệp sản xuất ba loại sản phẩm I, II và III. Để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm I cần cú 3 đơn vị nguyờn liệu loại A, 2 đơn vị nguyờn liệu loại B và 1 đơn vị nguyờn liệu loại C. Cỏc chỉ tiờu đú cho một đơn vị sản phẩm loại II là 4, 1 và 3. Cũn cho đơn vị sản phẩm loại III là 2, 2 và 2. Lượng nguyờn liệu dự trữ loại A và B hiện cú là 60, 40 và 80 (đơn vị). Hóy xỏc định phương ỏn sản xuất đạt lợi nhuận lớn nhất, biết lợi nhuận / đơn vị sản phẩm bỏn ra là 2, 4 và 3 (đơn vị tiền tệ) cho cỏc sản phẩm loại I, II và III.
Giả sử cú một khỏch hàng muốn mua lại cỏc đơn vị nguyờn liệu loại A, B và C. Bài toỏn đặt ra là cần định giỏ cỏc đơn vị nguyờn liệu. Rừ ràng rằng giỏ cỏc nguyờn liệu được quy định bởi giỏ trị của sản phẩm mà chỳng tạo nờn. Nếu cỏc sản phẩm này mang lại lợi nhuận lớn trờn thị trường thỡ giỏ ước định của cỏc nguyờn liệu này phải cao, cũn nếu trỏi lại thỡ giỏ ước định của chỳng là thấp. Mặt khỏc, lợi nhuận của cỏc sản phẩm thu được trờn thị trường lại phụ thuộc vào nhiều yếu tố như: giỏ cả cỏc sản phẩm được bỏn trờn thị trường (đó được thị trường chấp nhận), lượng dự trữ nguyờn liệu hiện cú, hệ số chi phớ sản xuất …
Như vậy, giỏ ước định của cỏc nguyờn liệu A, B và C phụ thuộc vào: – Hệ số hàm mục tiờu của bài toỏn gốc: c1 = 8, c2 = 4 và c3 = 63. – Ma trận ràng buộc cỏc hệ số chi phớ sản xuất:
A = 3 4 2 2 1 2 1 3 2 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ .
– Hệ số dự trữ cỏc loại nguyờn liệu:
b = 60 40 80 ⎡ ⎤ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎢ ⎥ ⎣ ⎦ .
Tuy nhiờn, mối phụ thuộc đú khụng dễ dàng xỏc định được. Để giải quyết vấn đề này hoàn toàn cú thể dựa vào việc phõn tớch bài toỏn đối ngẫu. Gọi y1 là giỏ ước định một đơn vị nguyờn liệu loại A, y2 là giỏ ước định một đơn vị nguyờn liệu loại B, cũn y3 là giỏ ước định một đơn vị nguyờn liệu loại C (y1, y2, y3≥ 0).
Chỳng ta hóy đi xột bài toỏn đối ngẫu: Min u = 60y1 + 40y2 + 80y3 với cỏc điều kiện ràng buộc
3y1 + 2y2 + y3≥ 2 4y1 + y2 + 3y3≥ 4 2y1 + 2y2 + 2y3≥ 3 y1, y2, y3 ≥ 0.
Thật vậy, u = 60y1 + 40y2 + 80y3 chớnh là tổng chi phớ phải bỏ ra nếu người khỏch hàng muốn mua 60 đơn vị nguyờn liệu loại A, 40 đơn vị nguyờn liệu loại B và 80 đơn vị nguyờn liệu loại C. Tất nhiờn người khỏch hàng muốn tổng chi phớ u càng bộ càng tốt.
Xột ràng buộc thứ nhất. Vế trỏi là 3y1 + 2y2 + y3 chớnh là số tiền khỏch hàng phải bỏ ra để mua 3 đơn vị nguyờn liệu loại A, 2 đơn vị nguyờn liệu loại B và 1 đơn vị nguyờn liệu loại C. Đõy là số nguyờn liệu cần thiết để sản xuất ra một đơn vị sản phẩm loại I. Rừ ràng rằng, người khỏch hàng khụng thể mua được số nguyờn liệu này thấp hơn lợi nhuận mà một đơn vị sản phẩm loại A mang lại khi được bỏn ra trờn thị trường (2 đơn vị tiền tệ). Điều này dẫn đến ràng buộc thứ nhất 3y1 + 2y2 + y3≥ 2. Tương tự chỳng ta cú thể lập luận được ý nghĩa kinh tế của ràng buộc thứ hai cũng như ràng buộc thứ ba của bài toỏn đối ngẫu.