NHẤT TOP
Ta hãy xét một hệ hạt đồng nhất gồm N hạt. Nếu bỏ qua tương tác giữa các hạt thì năng lượng của hệ là:
H = H1+H2+...+HN.
Gọi là các hàm sóng mô tả các trạng thái dừng có thể của hạt thứ i nào đó (mỗi
hạt có thể có N vị trí nên có thể có N trạng thái như vậy). Như vậy chỉ số là kí hiệu các trạng thái dừng có thể của mỗi hạt.
Hàm sóng của hệ được xác định khi ta biết trạng thái (tức hàm sóng) của từng hạt. Ta sẽ chứng minh rằng hàm sóng của hệ là tổ hợp tuyến tính của các tích các hàm sóng của các hạt, tích đó có dạng:
Tổng lấy theo j là tất cả các hoán vị có thể giữa các trạng thái có thể của các hạt (chẳng hạn có 10 hoán vị thì sẽ có 10 số hạng dạng tích trên trong tổng) và trong mỗi tích thì mỗi hạt chỉ có một hàm sóng tham gia(vì một hạt không thể đồng thời chiếm hơn một vị trí.)
Thật vậy. Ta có phương trình Schrodinger mô tả chuyển động của hệ hạt là:
Chính là (10.8)
Nhưng vấn đề là ta chọn tổ hợp tuyến tính ấy như thế nào? Ðể vấn đề được đơn giản ta hãy xét hệ gồm hai hạt có trạng thái khác nhau. Hàm sóng mô tả trạng thái của hệ phải thể hiện được tính chất đối xứng và phản đối xứng đã nêu ở trên.
Như vậy đối với hai hạt bozon không tương tác ta có thể chọn:
Ðổi chỗ hai hạt ta thấy ngay .Tức hàm sóng có tính đối xứng
Còn dối với hệ hai hạt fermion không tương tác ta có thể chọn:
.
Ðổi chỗ hai hạt ta thấy ). Tức hàm sóng có tính phản đối xứng.
Từ biểu thức hàm sóng của hai hạt fermion ta suy ra rằng nếu n1=n2 thì hàm sóng bằng không. Nghĩa là nếu hai hạt có trạng thái như nhau thì hàm sóng bằng không, điều này không thể chấp nhận được.
Vậy: Trong hệ hạt đồng nhất không thể có hai hay lớn hơn hai hạt có cùng trạng thái lượng tử. Ðó là nội dung của nguyên lí Paoli.
Ðối với hệ đồng nhất N hạt fermion, ta có thể chỉ ra hàm sóng của hệ có dạng:
.
Là một ma trận có N hàng N cột. Trong đó là hệ số chuẩn hóa.
Ta thấy ngay rằng việc đổi chỗ hai hạt thì tương đương với việc đổi chỗ hai cột trong định thức nên định thức đổi dấu, tức hàm sóng đổi dấu-nó phản ánh tính chất phản đối xứng của hàm sóng.
Như định thức trên thì ta thấy mỗi cột là ứng với một hạt, mỗi hàng là ứng với một trạng thái. Như vậy nếu định thức có hai hàng giống nhau(hay nhiều hơn) thì định thức bằng không. Mà điều đó cho ta trong các tích hoán vị có hai (hay nhiều hơh) hạt có cùng trạng thái. Hàm sóng bằng không thì không thể chấp nhận được. Do đó trong hệ hạt đồng nhất cũng không thể chấp nhận có hai (hay nhiều hơn) hạt có cùng trạng thái. Ta lại thấy lại nguyên lí Paoli.
Chương 11: LÍ THUYẾT NHIỄU LOẠN.