KHÔNG PHỤ THUỘC THỜI GIAN
Xét hạt chuyển động trong trường thế có thế năng phụ thuộc vào tọa độ . Hạt có năng lượng E và hàm sóng phụ thuộc tọa độ là . Phương trình trị riêng của toán tử năng lượng
(toán tử Hamilton) sẽ là:
Phương trình này mang tên là phương trình Schrodinger không phụ thuộc thời gian, là phương trình đạo hàm riêng hạng hai tuyến tính. Nó có nghiệm với bất kì giá trị nào của E. Song không phải nghiệm nào cũng ứng với một trạng thái vật lí. Chỉ có những nghiệm thỏa mãn đơn giá, liên tục và hữu hạn mới biểu diễn một trạng thái vật lí và mới chấp nhận được. Các nghiệm không thỏa mãn điều kiện trên thì không chấp nhận được. Người ta chứng minh rằng chỉ có những giá trị đặc biệt của E mới cho nghiệm theo quan điểm vật lí. Thường những giá trị ấy là những giá trị gián đoạn và một dải những giá trị liên tục của E.
- Các giá trị gián đoạn của E ứng với nghiệm giảm nhanh về số không khi tọa độ tiến tới vô cực. Trạng thái này gọi là trạng thái liên kết.
- Các giá trị liên tục của E ứng với nghiệm hữu hạn ở vô cực và gọi là trạng thái không bị liên kết.
Việc giải phương trình Schrodinger trong không gian là phức tạp. Ðể làm quen, trước hết ta hãy giải bài toán trong không gian một chiều, tuy rằng bài toán một chiều nó không ứng với chuyển động của môt hệ thực. Nhưng qua đó nó cho ta một số ý niệm đầu tiên về tính chất sóng hạt của vật chất. Hơn nữa, cũng có những bài toán trong không gian ba chiều ta có thể quy về bài toán một chiều được.
Vậy việc giải bài toán một chiều là cần thiết và quan trọng.
Giả sử hạt chuyển động trên trục ox, hạt có thế năng V(x) thì phương trình Schrodinger có dạng:
Phương trình này gọi là phương trình Schrodinger một chiều.