III..Vectơ pháp tuyến của đường thẳngVectơ pháp tuyến của đường thẳng . .
Ví dụ 1
Ví dụ 1:Cho đường thẳng :Cho đường thẳng ∆ cĩ phương trình : cĩ phương trình :
+
=
+
−=
t
y
t
x
3
4
2
5
và vectơ và vectơ → n= (3 ; -2) .Hãy chứng tỏ = (3 ; -2) .Hãy chứng tỏ → n vuơng vuơng gĩc với vectơ chỉ phương của đường thẳnggĩc với vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆
Gợi ý trả lời câu hỏi 1 Gợi ý trả lời câu hỏi 1::
→
u= (2 ; 3)= (2 ; 3)
Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Gợi ý trả lời câu hỏi 2::
→
u..→
n= 2.3 – 3.2 = 0 = 2.3 – 3.2 = 0 Gợi ý trả lời câu hỏi 3 Gợi ý trả lời câu hỏi 3::
Cĩ vì t. Cĩ vì t. →
n..→
u= 0 .= 0 .
Câu hỏi 1
Câu hỏi 1: Hãy xác định vectơ chỉ phương của: Hãy xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng
đường thẳng ∆ ? ? Câu hỏi 2
Câu hỏi 2::
Hãy chứng minh vectơ Hãy chứng minh vectơ →
nvuơng gĩc với vectơ vuơng gĩc với vectơ →
u ?? Câu hỏi 3
Câu hỏi 3:: Vectơ t Vectơ t→
n cĩ vuơng gĩc với vectơ cĩ vuơng gĩc với vectơ →
uhay khơng ?hay khơng ? *
* Định nghĩaĐịnh nghĩa: Vectơ : Vectơ →
n được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng được gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆nếu nếu →
n ≠→0vàvà→
nvuơng gĩc vớivuơng gĩc với vectơ chỉ phương của đường thẳng
vectơ chỉ phương của đường thẳng ∆
*
* Chú ýChú ý:: 1.
1. Nếu Nếu →
nlà vectơ pháp tuyến của đường thẳng là vectơ pháp tuyến của đường thẳng ∆thì kthì k→
n(k(k
≠
0) cũng là một vectơ pháp tuyến của0) cũng là một vectơ pháp tuyến của∆ 2.2. Một đường thẳng được hồn tồn được xác định nếu biết điểm và vectơ pháp tuyến của nĩ .Một đường thẳng được hồn tồn được xác định nếu biết điểm và vectơ pháp tuyến của nĩ .
Ví dụ 2
Ví dụ 2:Cho đường thẳng cĩ vectơ pháp tuyến :Cho đường thẳng cĩ vectơ pháp tuyến →
n= (-2 ; 3).Các vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương := (-2 ; 3).Các vectơ nào sau đây là vectơ chỉ phương : a) a) → u = (2 ; 3) b) = (2 ; 3) b) → u= ( - 2 ; 3)= ( - 2 ; 3) c) c) → u = (3 ; 2) d) = (3 ; 2) d) → u= (- 3 ; 3)= (- 3 ; 3) Ví dụ 3
Ví dụ 3:Cho đường thẳng cĩ vectơ chỉ phương :Cho đường thẳng cĩ vectơ chỉ phương →
u= (- 2 ; 0).Các vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến := (- 2 ; 0).Các vectơ nào sau đây là vectơ pháp tuyến : a) a) → n= (0 ; 3) b) = (0 ; 3) b) → n= (0 ; - 7)= (0 ; - 7) b) b) → n= (8 ; 0) d) = (8 ; 0) d) → n= (0 ; -5) .= (0 ; -5) . Hoạt động Hoạt động 4:4: IV.
IV.Phương trình tổng quát của đường thẳngPhương trình tổng quát của đường thẳng . .
1)
1) Định nghĩaĐịnh nghĩa : :
Phương trình : ax + by + c = 0 với a và b khơng đồng thời bằng 0 , được gọi là phương trình tổng Phương trình : ax + by + c = 0 với a và b khơng đồng thời bằng 0 , được gọi là phương trình tổng
quát của đường thẳng .quát của đường thẳng .
2)
2) Chú yChú yù :ù :Nếu đường thẳng Nếu đường thẳng ∆cĩ phương trình ax + by + c = 0 thì cĩ phương trình ax + by + c = 0 thì ∆ cĩ vectơ pháp tuyến là cĩ vectơ pháp tuyến là →
n= ( a ; b)= ( a ; b) và
và
vectơ chỉ phương là vectơ chỉ phương là →
u= (-b ; a) hoặc = (-b ; a) hoặc →
u= (b ; -a) .= (b ; -a) .
Hoạt động của học sinhHoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Hoạt động của giáo viên Gợi ý trả lời câu hỏi 1
Gợi ý trả lời câu hỏi 1::
Ta cần chứng minh Ta cần chứng minh →
n vuơng gĩc với vuơng gĩc với →
MN ,với ,với
M , N là hai điểm thuộc đường thẳng M , N là hai điểm thuộc đường thẳng ∆
Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Gợi ý trả lời câu hỏi 2:: M(0 ; M(0 ; −bc ) ; N() ; N(−ac ; 0) ; 0) − = ⇒→ b c a c MN ; Khi đĩ Khi đĩ → MN ..→ n= 0 .= 0 . Gợi ý trả lời câu hỏi 3 Gợi ý trả lời câu hỏi 3::
→
u..→
n= 0= 0
Gợi ý trả lời câu hỏi 4
Gợi ý trả lời câu hỏi 4:Cho học sinh tự làm .:Cho học sinh tự làm .
Câu hỏi 1 Câu hỏi 1::
Để chứng minh Để chứng minh →
n=(a ; b) là vectơ pháp tuyến=(a ; b) là vectơ pháp tuyến của
của ∆ ,ta cần chứng minh như thế nào ? ,ta cần chứng minh như thế nào ? Câu hỏi 2
Câu hỏi 2::
Hãy chọn hai điểm M , N thuộc Hãy chọn hai điểm M , N thuộc ∆và chứngvà chứng minh
minh →
nvuơng gĩc với vuơng gĩc với →
MN ..Câu hỏi 3 Câu hỏi 3
Câu hỏi 3::
Để chứng minh Để chứng minh →
u= (-b; a) là vectơ chỉ phương= (-b; a) là vectơ chỉ phương của
của ∆ , ta cần chứng minh biểu thức nào ? , ta cần chứng minh biểu thức nào ? Câu hỏi 4
Câu hỏi 4:Hãy chúng minh :Hãy chúng minh →
u..→
n= 0= 0
Ví dụVí dụ 1: 1:Lập phương trình tổng quát của đường thẳng Lập phương trình tổng quát của đường thẳng ∆đi qua hai điểm A(2 ; 2) và B(4 ; 3) .đi qua hai điểm A(2 ; 2) và B(4 ; 3) .
Giải Giải:: VTCP :VTCP :→ → = AB u = (2 ; 1) ,suy ra VTPT : = (2 ; 1) ,suy ra VTPT : →
n= (1 ; -2).Vậy PTTQ của = (1 ; -2).Vậy PTTQ của ∆ là 1.(x – 2) + (-2)(y – 2) = 0 là 1.(x – 2) + (-2)(y – 2) = 0
Ví dụ 2Ví dụ 2::Hãy tìm tọa độ của vectơ chỉ phương của đường thẳng cĩ phương trình : 3x + 4y + 5 = 0.Hãy tìm tọa độ của vectơ chỉ phương của đường thẳng cĩ phương trình : 3x + 4y + 5 = 0.
Hoạt động của học sinhHoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Hoạt động của giáo viên Gợi ý trả lời câu hỏi 1
Gợi ý trả lời câu hỏi 1::
VTPT : VTPT : →
n= (3 ; 4)= (3 ; 4) Gợi ý trả lời câu hỏi 2 Gợi ý trả lời câu hỏi 2::
Câu hỏi 1
Câu hỏi 1::
Tọa độ của vectơ pháp tuyến bằng bao nhiêu ?Tọa độ của vectơ pháp tuyến bằng bao nhiêu ? Câu hỏi 2
VTCP :VTCP :→
u = (4 ; -3) .= (4 ; -3) . Hãy xác định tọa độ của vectơ chỉ phương ?Hãy xác định tọa độ của vectơ chỉ phương ?
3)
3)Các trường hợp đặc biệtCác trường hợp đặc biệt : :Cho đường thẳng Cho đường thẳng
Cho đường thẳng ∆cĩ phương trình tổng quát ax + by + c = 0 (1)cĩ phương trình tổng quát ax + by + c = 0 (1)
Nếu a = 0 thì (1) :by + c = 0 hay y = -Nếu a = 0 thì (1) :by + c = 0 hay y = -bc . Khi đĩ đường thẳng . Khi đĩ đường thẳng ∆vuơng gĩc với trục Oy tạivuơng gĩc với trục Oy tại
− b c ; 0
Nếu b = 0 thì (1) :ax + c = 0 hay x =Nếu b = 0 thì (1) :ax + c = 0 hay x =−ac . Khi đĩ đường thẳng . Khi đĩ đường thẳng ∆vuơng gĩc với trục Ox tạivuơng gĩc với trục Ox tại
− ;0 a c
Nếu c = 0 thì (1):ax + by = 0 . Khi đĩ đường thẳng Nếu c = 0 thì (1):ax + by = 0 . Khi đĩ đường thẳng ∆đi qua gốc tọa độ O.đi qua gốc tọa độ O.
Nếu a , b , c đều khác 0 ta cĩ thể đưa (1) về dạng :Nếu a , b , c đều khác 0 ta cĩ thể đưa (1) về dạng : + =1
o o b
y a
x
gọi là phương trình đường thẳng theo gọi là phương trình đường thẳng theo đoạn chắn , đường thẳng này cắt Ox và Oy lần lượt tại M(a
đoạn chắn , đường thẳng này cắt Ox và Oy lần lượt tại M(aoo ; 0) , N(0 ; b ; 0) , N(0 ; boo) .) .
Ví dụ 3
Ví dụ 3::Trong mặt phẳng Oxy , hãy vẽ các đường thẳng cĩ phương trình sau đây :Trong mặt phẳng Oxy , hãy vẽ các đường thẳng cĩ phương trình sau đây : dd11 : x – 2y = 0 d : x – 2y = 0 d2 2 : x = 2 : x = 2 dd33 : y + 1 = 0 d : y + 1 = 0 d44 : : 1 4 8x + y = . .
Hoạt động của học sinhHoạt động của học sinh Hoạt động của giáo viên Hoạt động của giáo viên Gợi ý trả lời câu hỏi 1
Gợi ý trả lời câu hỏi 1::
Đi qua O(0 ; 0 ) và qua điểm A(2 ; 1) .Đi qua O(0 ; 0 ) và qua điểm A(2 ; 1) . Gợi ý trả lời câu hỏi 2
Gợi ý trả lời câu hỏi 2::
Song song với Oy, đi qua điểm cĩ hồnh độ x = 2Song song với Oy, đi qua điểm cĩ hồnh độ x = 2 Gợi ý trả lời câu hỏi 3
Gợi ý trả lời câu hỏi 3::
Song song với Ox , đi qua điểm cĩ tung độ y = -1Song song với Ox , đi qua điểm cĩ tung độ y = -1 Gợi ý trả lời câu hỏi 4
Gợi ý trả lời câu hỏi 4::
Song song với dSong song với d11 và đi qua A(0 ; 4) ,B(8 ; 0) . và đi qua A(0 ; 4) ,B(8 ; 0) .
Câu hỏi 1
Câu hỏi 1::
Đường thẳng dĐường thẳng d11 cĩ những đặc điểm nào ? cĩ những đặc điểm nào ? Câu hỏi 2
Câu hỏi 2::
Đường thẳng dĐường thẳng d22 cĩ những đặc điểm nào ? cĩ những đặc điểm nào ? Câu hỏi 3
Câu hỏi 3::
Đường thẳng dĐường thẳng d33 cĩ những đặc điểm nào ? cĩ những đặc điểm nào ? Câu hỏi 4
Câu hỏi 4::
Đường thẳng dĐường thẳng d44 cĩ những đặc điểm nào ? cĩ những đặc điểm nào ?
C. Cũng cốC. Cũng cố : : C. Cũng cố : :
1)
1) Vectơ Vectơ →
nđược gọi là pháp tuyến của đường thẳng được gọi là pháp tuyến của đường thẳng ∆nếu nếu →
n ≠→0 và và →
n vuơng gĩc với vectơ chỉ vuơng gĩc với vectơ chỉ phương của đường thẳng
phương của đường thẳng ∆.. 2)
2) Phương trình ax + by + c = 0 với a và b khơng đồng thời bằng 0 , được gọi là phương trình tổng quátPhương trình ax + by + c = 0 với a và b khơng đồng thời bằng 0 , được gọi là phương trình tổng quát của đường thẳng cĩ VTPT
của đường thẳng cĩ VTPT →
n = (a ; b) và VTCP : = (a ; b) và VTCP : →
u = (b ; -a) . = (b ; -a) .
D. Bài tập về nhà
D. Bài tập về nhà :: Bài tập 2,3,4(SGK/80)Bài tập 2,3,4(SGK/80)
E. Bổ sungE. Bổ sung :: E. Bổ sung ::
Hoạt động
Hoạt động 5:5: TIẾT 31 (Ngày dạy : 10 / 04 / 2007) TIẾT 31 (Ngày dạy : 10 / 04 / 2007)
V
V.Vị trí tương đối của hai đường thẳng .Vị trí tương đối của hai đường thẳng .. Xét hai đường thẳng
Xét hai đường thẳng ∆11vàvà∆22 cĩ phương trình tổng quát lần lượt là:a cĩ phương trình tổng quát lần lượt là:a11x + bx + b11y + cy + c11= 0 và a= 0 và a22x + bx + b22y + cy + c22= 0= 0 Tọa độ giao điểm của
(I) (I)
=
+
+
=
+
+
0
0
2 2 2 1 1 1c
y
b
x
a
c
y
b
x
a
1.1. Nếu (I) cĩ 1 nghiệm khi Nếu (I) cĩ 1 nghiệm khi ∆11vàvà∆22 cắt nhau tại điểm M cắt nhau tại điểm M00(x(x00 ; y ; y00)) 2.
2. Nếu (I) cĩ vơ số nghiệm khi Nếu (I) cĩ vơ số nghiệm khi ∆11vàvà∆22 trùng với nhau . trùng với nhau . 3.
3. Nếu (I) vơ nghiệm,khi đĩ Nếu (I) vơ nghiệm,khi đĩ ∆11vàvà∆22 khơng cĩ điểm chung hay khơng cĩ điểm chung hay ∆11vàvà∆22 song song với nhau . song song với nhau .
