tích phân
Các ý tởng giúp hình thành môn vi phân, tích phân phát triển qua một thời gian dài và những ngời đi những bớc tiên phong là các nhà toán học Hi Lạp. Xét về mặt lịch sử thì t tởng phép tính tích phân ra đời trớc và ít lâu sau phép tính vi phân mới đợc nghĩ tới. Leucippus, Democritus và Antiphon đã có những đóng góp vào phơng pháp "vét kiệt" (Method of Exhaustion) của Hi Lạp. Nhng mãi về sau mới đợc Euxodus (408 - 355) nâng lên thành lí luận khoa học. (Sở dĩ gọi
là phơng pháp "vét kiệt" vì xem diện tích của một hình đợc tính bằng vô số hình, càng lúc càng lấp đầy hình đó.)
Phơng pháp vét kiệt thừa nhận tính chia hết vô hạn của các độ lớn, đợc coi là câu trả lời của trờng phái Platon đối với những nghịch lí của Zeno. Mệnh đề cơ sở nh sau: "Nếu từ bất kì một đại lợng nào đó và bỏ đi một phần không nhỏ hơn một nửa của nó, rồi từ chỗ còn lại bỏ đi một phần khác không nhỏ hơn một nửa của nó, vân vân thì cuối cùng sẽ còn lại một đại lợng nhỏ hơn bất kỳ đại l- ợng nào đợc ấn định cùng loại".
Tuy nhiên, chỉ có Archimedes (287 - 212) mới là ngời Hi Lạp kiệt xuất nhất với phơng pháp cân bằng đợc tìm thấy vào năm 1906. T tởng chính của ph- ơng pháp Archimedes là: "Để tìm một diện tích hoặc một thể tích thì cắt nó ra thành một số rất lớn các dải phẳng mỏng song song và (nghĩ trong óc) là treo chúng ở đầu tâm đã biết". Thành tựu to lớn đầu tiên của ông là tìm đợc diện tích của hình tam giác cong parabol bằng 4/3 diện tích của tam giác có cùng đáy và đỉnh và bằng 2/3 diện tích của hình bình hành ngoại tiếp. Kết quả này đợc tìm ra bằng cách dựng một dãy vô tận các tam giác, bắt đầu với tam giác có diện tích bằng S và tiếp tục ghép thêm các tam giác mới nằm xen giữa các tam giác đã có với đờng parabol. Hình parabol dần dần đợc lấp đầy bởi các tam giác có diện tích là:
S S S S S S
S, S + , S + + , S + + + ...
4 4 16 4 16 64
Từ đó diện tích của tam giác cong giới hạn bởi parabol là:
1 1 1 4
S (1 + + + + ...) = ( )S.
4 16 64 3
Archimedes cũng đã tìm ra đợc diện tích hình tròn bằng phơng pháp của mình. Đây là mô hình đầu tiên của phép tính tích phân, nhờ đó ông tìm đợc giá trị gần đúng của số π ở khoảng giữa hai phân số 310
71 và
1 3
Trong tất cả những khám phá của mình, Archimedes tâm đắc nhất là việc tìm ra công thức tính thể tích hình cầu: "Thể tích hình cầu bằng 2/3 thể tích hình trụ ngoại tiếp ". Sau khi ông mất, thể theo nguyện vọng lúc sinh thời, ngời ta cho dựng một mộ bia có khắc hoa văn một hình cầu nội tiếp một hình trụ.
Cũng từ khi ông mất cho đến thế kỉ thứ XVII, nền toán học hầu nh rơi vào trong bóng tối. Lúc này do nhu cầu của kỉ thuật, phép tính vi tích phân trở lại để giải quyết những bài toán về sự biến thiên của các đại lợng vật lí. Các nhà toán học lớn nh Ferrmat (1601 - 1665), Roberval, Descartes (1596 - 1650), Cavalieri đã tập trung giải quyết bốn bài toán lớn sau:
1. Tìm tiếp tuyến của một đờng cong. 2. Tìm độ dài của một đờng cong.
3. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của một đại lợng, chẳng hạn tìm khoảng cách gần nhất và xa nhất giữa một hành tinh và mặt trời hoặc khoảng cách tối đa mà một đạn đạo có thể bay tới theo góc bắn đi của nó.
4. Tìm vận tốc và gia tốc của một vật thể.
Và thế kỉ XVII đợc xem là một bớc ngoặt trong lịch sử Toán học khi phép tính vi - tích phân đợc phát triển nhờ tìm ra cách giải quyết các bài toán trên. Tất cả cố gắng của họ đã đạt đến đỉnh cao khi hai nhà toán học Isaac Newton (1643 - 1727) và Gottfried Wilhelm Leibniz (1646 - 1716) đã nghiên cứu một cách có hệ thống, hoàn thiện phép tính vi - tích phân vào cuối thế kỉ này. Đây cũng là thành tựu Toán học nổi bật nhất vào thời kì đó.