Khái niệm sơ khai về hàm số đã có từ 1000 năm trớc công nguyên khi những ngời Babilon đã biết lập những bảng tỉ số thực nghiệm trong thiên văn.
Nhng mãi đến thế kỉ thứ XVII khái niệm này mới đợc hình thành rõ ràng và có hệ thống trong Toán học nhờ các công trình của Phermat và Descartes.
Giữa thế kỉ thứ XVII, khi đụng chạm đến bài toán về sự dao động của sợi dây đã nảy sinh nhu cầu về một định nghĩa hàm số tổng quát. Khoảng năm 1694 danh từ hàm số đợc Leibniz dùng lần đầu tiên. Lúc này khái niệm hàm số gắn liền với biểu diễn hình học của hàm số bằng một đờng.
Thế kỉ thứ XVII cũng là giai đoạn chuyển biến việc biểu diễn tơng quan hàm số từ trực giác hình học sang biểu thức giải tích. Năm 1718, Johann Bernoulli đĩnh nghĩa: "Hàm số của một biến lợng là một biểu thức giải tích gồm biến lợng đó và các đại lợng không đổi". Năm 1748, D'Alembert cũng đa ra định nghĩa: "Hàm số là một biểu thức giải tích". Trong thế kỉ thứ XVIII biểu thức giải tích đóng vai trò cơ bản trong việc xác định tơng quan hàm số. Tuy nhiên trong thế kỉ này cũng có những định nghĩa tổng quát hơn, coi hàm số nh một đại lợng phụ thuộc. Năm 1755, Euler định nghĩa: "Khi một đại lợng phụ thuộc vào các đại lợng khác sao cho sự thay đổi của các đại lợng thứ hai kéo theo sự thay đổi của đại lợng thứ nhất thì đại lợng thứ nhất gọi là hàm số của đại lợng thứ hai" [20, tr. 92].
Trong thế kỉ thứ XIX với sự phát triển của giải tích toán học, khái niệm hàm số đòi hỏi phải đợc mở rộng. Xây dựng khái niệm này dựa vào sự tơng ứng giữa các giá trị của hai đại lợng. Năm 1837, Dirichler định nghĩa: "y là hàm số của x nếu với mỗi giá trị của x thì tơng ứng một giá trị hoàn toàn xác định của y còn sự tơng ứng đó đợc thiết lập bằng cách nào thì điều này hoàn toàn không quan trọng". Ông đa ra ví dụ:
1 nếu x hữu tỉ ( ) 0 nếu x vô tỉ = = y D x
Định nghĩa này đã đợc tất cả các nhà bác học lúc bấy giờ chấp nhận. Nhng về sau khi lí thuyết tập hợp phát triển thành nền tảng của toán học đòi hỏi phải mở rộng hơn nữa khái niệm hàm số. Lúc này khái niệm hàm không dùng đại l-
ợng biến thiên mà dựa vào lí thuyết tập hợp. Đây là một khuynh hớng hiện đại dẫn tới mở rộng khái niệm hàm vì nó nghiên cứu những sự tơng ứng không phải chỉ giữa các giá trị của những đại lợng. Do đó nó có khả năng phục vụ cho tất cả các ứng dụng cổ truyền của Toán học cũng nh nhiều ứng dụng mới xuất hiện. Sau đây là bốn dạng định nghĩa (Dẫn theo [20, tr. 94]):
- Dạng định nghĩa tình huống hàm - nghĩa là tình huống mà trong đó có thể nói rằng có một hàm số:
+ "Giả sử A và B là hai tập hợp bất kì. Ngời ta nói rằng trên A đợc xác định một hàm f nhận các giá trị trong B nếu với mỗi phần tử x ∈ A đặt tơng ứng một và chỉ một phần tử trong B". Trong trờng hợp các tập hợp có bản chất bất kì thì thay từ "Hàm" ngời ta thờng dùng từu " ánh xạ" và nói về ánh xạ của tập hợp A đến tập hợp B.
+ "Cho hai tập hợp A và B. Ta nói rằng đã xác định một ánh xạ f của tập hợp A vào tập hợp B và kí hiệu f: A→B nếu bằng cách nào đó đặt tơng ứng với mỗi phần tử a ∈ A một phần tử xác định b ∈B".
- Hàm nh một quy tắc tơng ứng của hai tập hợp:
"A và B là hai tập hợp đã cho. Một ánh xạ f từ A đến B là một quy tắc cho tơng ứng với mỗi phần tử a ∈ A một phần tử duy nhất b ∈ B".
- Hàm nh một sự tơng ứng: "Hàm là một sự tơng ứng mà theo đó với mỗi phần tử x của tập hợp X tơng ứng một phần tử y của tập hợp Y nào đó".
Rõ ràng các định nghĩa hàm thuộc ba dạng trên đã dựa vào tập hợp nhng cha triệt để: Dạng thứ nhất cha chỉ đợc đích danh hàm là gì, còn có những thuật ngữ cha rõ nh "quy tắc" ở dạng 2, "sự tơng ứng" ở dạng 3. Dạng cuối cùng sau đây sẽ khắc phục đợc các nhợc điểm trên.
- Định nghĩa hàm triệt để dựa vào tập hợp của Bourbaki: + Định nghĩa đầy đủ:
Một tập hợp G mà mỗi phần tử của nó là những cặp đợc gọi là một đồ thị. Tập hợp tất cả các phần tử thứ nhất của các cặp trong G đợc gọi là miền xác
định của đồ thị G. Kí hiệu là pr1G. Tập hợp tất cả các phần tử thứ 2 của các cặp trong G đợc gọi là miền giá trị của G, kí hiệu là pr2G.
Một bộ ba (G, A, B), trong đó G là một đồ thị sao cho pr1G ⊂ A và pr2G
⊂ B, đợc gọi là một sự tơng ứng giữa các tập hợp A và B, A gọi là nguồn và B gọi là đích của sự tơng ứng đó.
Một đồ thị đợc gọi là một đồ thị hàm nếu trong đó không có hai cặp phân biệt nào cùng chung phần tử thứ nhất. Một sự tơng ứng (F, A, B) đợc gọi là một hàm nếu F là một đồ thị hàm và A = pr1F.
Nh vậy theo những định nghĩa trên của Bourbaki thì một bộ ba tập hợp (F, A, B), trong đó F là tập những cặp sao cho pr1G ⊂ A và pr2G ⊂ B, đợc gọi là một hàm nếu mỗi phần tử của A đều là thành phần thứ nhất của một và chỉ một cặp thuộc F.
+ Định nghĩa rút gọn: "Một hàm là một tập hợp những cặp (x, y) sao cho đối với mỗi x bất kì trong tập hợp đó không có quá một cặp (x, y) với phần tử thứ nhất x cho trớc.
Nh vậy nguồn và đích không có mặt trong định nghĩa rút gọn còn hàm chính là đồ thị hàm theo định nghĩa đầy đủ.
Ta thấy rằng khái niệm hàm số phát sinh, phát triển, ngày càng mở rộng, chính xác hoá và hoàn thiện là do nhu cầu của thực tiễn. Và những định nghĩa dạng cuối cùng (theo cách đầy đủ hay rút gọn) là tiêu biểu nhất cho khuynh h- ớng hiện đại - khuynh hớng lí thuyết tập hợp.