BẰNG BỘ CÔNG CỤ SIMMECHANICS
2.1 GIỚI THIỆU CHUNG VỀ BỘ CÔNG CỤ SIMMECHANICS
2.1.2 MÔ TẢ CHUYỂN ĐỘNG VỚI SIMMECHANICS .1 Chuyển động và trạng thái chuyển động
Kinematics là một sự miêu tả chuyển động của máy khi không có ngoại lực hay momen tác động cũng như không có thuộc tính của đối tượng.
Bậc tự do của đối tượng: Mỗi vật thể vật lý có 6 bậc tự do: 3 chuyển động tịnh tiến treo các trục, 3 chuyển động quay theo các trục. SimMechanics thay thế bậc tự do bởi khớp nối giữa hai thân đó. Trong SimMechanics, vật thể (body) không có bậc tự do.
Trạng thái chuyển động: Trạng thái chuyển động của hệ thống cơ khí là tập họp các giá trị tức thời của vị trí (đối với chuyển động tịnh tiến), góc quay (đối với chuyển động quay) và vận tốc của chúng.
2.1.2.2 Chuyển động của thân trong SimMechanics Không gian hoạt động và các hệ tọa độ:
SimMechanics mô phỏng chuyển động của cơ cấu sử dụng tiêu chuẩn động lực học của Newton, là một tập tất cả các trạng thái, trừ gia tốc, trong không gian quán tính. SimMechanics sử dụng một không gian quán tính chủ đạo gọi là World.
Chúng ta có thể chọn bất kì một điểm nào đó như một gốc tọa độ và đặt vào đó các trục tọa độ trực giao gọi là hệ tọa độ mở rộng.
Sự chuyển động giữa các hệ tọa độ:
Cho một hệ tọa độ cố định, và một hệ tạo độ khác có tâm O (gọi tắt là hệ tọa độ O). C là tọa độ điểm O trong hệ tọa độ cố định. Tập các vector đơn vị trực giao {u(x), u(y), u(z)} định nghĩa nên các trục tọa độ của O. Tập này được định hướng trong hệ tọa độ cố định, với tập vector đơn vị {e(x), e(y), e(z)}, là X,Y,Z. Chúng ta có thể diễn tả {u(x), u(y), u(z)} như một sự tổ hợp của {e(x), e(y), e(z)}.
u(x) = Rxx e(x) + Ryx e(y) + Rzx e(z) u(y) = Rxy e(x) + Ryy e(y) + Rzy e(z) u(z) = Rxz e(x) + Ryz e(y) + Rzz e(z)
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
ux(x) = Rxx , uy(x) = Ryx , uz(x) = Rzx ux(y) = Rxy , uy(y) = Ryy , uz(y) = Rzy ux(z) = Rxz , uy(z) = Ryz , uz(z) = Rzz
Sự phụ thuộc vào thời gian của các hệ số trong R thay cho sự định hướng của u so với e. Các phần tử của vector v được đo trong hệ tọa độ World được thay bởi vector cột, vWorld. Trong hệ tọa độ O, chúng được thay bởi vector cột vO. Mối quan hệ giữa hai tọa độ là vWorld RWO*vO. Với R có các cột là thành phần của u trong hệ tọa độ World.
yx Ryy Ryz ;
Rzx Rzy Rzz
Rxx Rxy Rxz
R R
Do sự trực giao và chiều dài đơn vị của u đảm bảo rằng R là một ma trận quay trực giao thỏa mãn RRT=RTR=I, vậy ta có R-1=RT.
o Quan sát chuyển động của thân từ một hệ tọa độ khác:
Hình 2.1 Hệ tọa độ toàn thể và hệ tọa độ tương đối
Cho hai hệ tọa độ quan sát: World và O như trên, và 1 điểm p chuyển động bất kì. Tọa độ của p trong hệ tọa độ World là vector cột pWorld và trong hệ tọa độ O là pO, mối quan hệ giữa hai hệ tọa độ là:
World=CWorld(t) +R*pO
p
o Mối quan hệ giữa vận tốc giữa hai hệ quan sát:
Vi phân bậc nhất theo thời gian công thức trên, chúng ta được mối quan hệ vận tốc
World World O
O
dp dC dp dR
R p
dt dt dt dt
o Thay thế chuyển động tịnh tiến và chuyển động quay của thân:
Xét chuyển động của điểm p, cố định trên thân, O là hệ tọa độ gắn với thân và có gốc O đặt tại điểm trọng tâm. Do chúng cố định trên thân do đó, ta có:
/ 0
dpO dt , do đó công thức tính vận tốc ở trên được viết lại:
World World
O
dp dC dR
dt dt dt p
Bởi rằng RRT=I, 0
T
dR T dR
R R
dt dt do đó chúng ta thêm RRT bên trái của pBody và định nghĩa ma trận phản đối xứng dRRT RdRT
dt dt ;
0 0
0
z y
z x
y x
;
Và ω là vận tốc góc của thân trong hệ tọa độ World.
World
* * ( * )
World World World
Body Body
dp dC dC
R p R p
dt dt dt ;
Mối quan hệ giữa vi phân của vector V được đo trong World và đo trân thân
nói chung: World
World
V
Body
dV dV
dt dt ;
2.1.2.3 SimMechanics thay thế sự định hướng của thân
Trong SimMechanics, chúng ta thay sự định hướng của thân bằng cách chỉ ra hướng của các trục tọa độ đặt tại tâm so với các trục đã chọn trước.Sự quay nói chung trong không gian 3 chiều, có 3 bậc tự do. Có nhiều phương pháp để diễn tả chúng, SimMechanics sử dụng phương pháp: đo chuyển động của thân bằng sensor và khối RotationMatrix2VR.
Số hóa bởi Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn
Dạng trục và góc của phép quay là dạng trình bày cơ bản nhất: Chỉ ra trục n, sau đó quay theo quy tắc bàn tay phải quanh trục đó 1 góc θ. Vector n=(nx,ny,nz) là 3 thành phần hợp thành vector đơn vị với n*n=1.
Dạng trục quay thường được viết như là vector 4 phần tử: [nx,ny,nz,θ]. Trong 4 phần tử đó,3 thành phầnđộc lập, vì n n* nx2 n2y n2z 1.
Dạng bộ 4:
Quaternion thay thế phép quay cầu như là 4 phần tử của vector cột có độ dài đơn vị:
*sin / 2 *sin / 2 *sin / 2 os /2
x y z v s
q n n n c q q
Với q q* qv*qv qs2 1. Định nghĩa này thay thế cho định nghĩa ở trên, quay quanh trục chỉ ra bởi 3 thành phần đầu của vector cột một góc θ.
Dạng ma trận quay:
Từ dạng trục - góc quay, chúng ta có thể định nghĩa ma trận quay R theo dạng số mũ như sau: R exp n*J với Jk là ma trận số thực, phản đối xứng và thỏa mãn:
1 2 3
* x y z .
n J n J n J n J Với J có dạng phản đối xứng với sự đổi chỗ kí tự εijk:
i ik ijk
J . Dạng số mũ của R được giản thiểu tới dạng đóng bằng sự nhận dạng:
exp * * sin * 2 1 os
R n J I n J n J c với I là ma trận đơn vị và n*J được định nghĩa bởi:
0
* 0 ;
0
z y
z x
y x
n n
n J n n
n n
Dạng Euler.
Một cách khác để biểu diễn ma trận quay R, quay quanh 3 trục độc lập, bằng 3 góc Euler độc lập. Ma trận quay của hệ tọa độ thân được tạo nên bởi phép nhân ma trận theo thứ tự từ phải qua. R=R1*R2*R3 và ma trận quay bắt đầu trong World được tạo nên nhờ phép nhân ma trận theo trật tự từ trái qua: R=R3*R2*R1. Sự quy ước ngầm của 3 góc quay Euler:
+) Là quay quanh 1 trục là trục tọa độ thân,
+) Quay lần 2 quanh trucjtoaj độ thân (quay từ chính điểm gốc của nó).
+) Sau cùng quay quanh trục tọa độ đầu tiên một lần nữa (trục có tên mà vừa quay của lần 1 với hệ tọa độ mới sau khi quay lần 2).
Trục quay thường sử dụng là Z-X-Z (hoặc Z-Y-Z) với góc quay là θ1, θ2, θ3. Ma trận quay là: R RZ 1 *RX 2 *RZ 3 với các ma trận quay R quanh một trục nào đó được định nghĩa:
1 0 0
0 os sin
0 sin os
os sin 0 os 0 sin
sin os 0 0 1 0
0 0 1 sin 0 os
X
Z Y
R c
c
c c
R c R
c