L =f(a) ≠ f(a)
TRONG DẠY HỌC CHỦ ĐỀ GIỚI HẠN Ở THPT
2.1. CÁCH TIẾP CẬN KHÁI NIỆM GIỚI HẠN Ở THPT
Thực tế trong chương trình môn Toán ở THPT các khái niệm ''Giới hạn về dãy số và hàm số, hàm số liên tục'' được trình bày theo các cách tiếp cận không giống nhau của mỗi tài liệu riêng biệt. Xét trong các bộ SGK Giải tích - Đại số lớp 11 của các nhóm tác giả ta sẽ thấy rõ hơn điều đó.
2.1.1.1. Cách 1: Của nhóm tác giả Ngô Thúc Lanh chủ biên, 1995 theongôn ngữ ''ε ,N(ε)'' ngôn ngữ ''ε ,N(ε)''
Con đường đi tới định nghĩa khái niệm Giới hạn dãy số là qui nạp, từ việc mô tả: ''Khi n càng lớn thì Un càng bé và bé bao nhiêu cũng được'', được chuyển qua ngôn ngữ "ε , N(ε)" bằng cách chọn miền giá trị ε cụ thể để tiến tới khái quát hóa cho mọi ε : ''ta nói rằng dãy số thực (Un; n = 1,2,3,…) có giới hạn là L (L∈R), khi n → +∞ nếu với mọi số dương ε cho trước (nhỏ tuỳ ý) tồn tại một số tự nhiên N(ε) sao cho với mọi n > N(ε) thì Un −L <ε .
Kí hiệu nlim→+∞Un = L''.
Định nghĩa này khá rắc rối, cấu trúc câu thì phức tạp, hơn nữa đây là lần đầu tiên học sinh tiếp cận với ký hiệu của Hy Lạp là ε . Học sinh khá thì thắc mắc tại sao nói là ''với mọi số dương ε cho trước'' còn sử dụng cụm từ ''nhỏ bao nhiêu tùy ý '' để làm gì ? Thực ra, nếu không có lời giải thích đó các em sẽ ít chú trọng đến tính chất '' vô cùng bé '', ( đây là đặc trưng của Giải tích) mà các em chỉ nghĩ đến giá trị cố định ε , thì tư duy lại theo kiểu ''tĩnh tại'', ''rời rạc’', ''hữu hạn'' của Đại số. Lời giải thích này hướng vào kiểu tư duy ''biến thiên'', ''liên tục'', ''vô hạn'' của lĩnh vực Giải tích.
2.1.1.2. Cách 2: Của nhóm tác giả Phan Đức Chính chủ biên, 1999 theo
ngôn ngữ ”mô tả”
Khái niệm giới hạn dãy số được định nghĩa dưới dạng “mô tả” bằng ngôn ngữ thông thường, đưa vào từng bước để giảm nhẹ mức độ trừu tượng của nó. +) B ước1: Định nghĩa ''Giới hạn 0 của dãy số” là: ''dãy số (Un; n = 1,2,3,…) gọi là dần về 0 hay có giới hạn 0 khi n → +∞, (nếu Un càng nhỏ khi n càng lớn) tức là có thể nhỏ bao nhiêu tùy ý, miễn là chọn được n đủ lớn. Kí hiệu nlim→+∞ Un = 0 hoặc Un → 0 khi n → +∞''.
Định nghĩa này chưa đảm bảo tính chính xác của một định nghĩa khái niệm, nhưng vì tính chất “mô tả” nên học sinh không bị choáng, vì vậy giúp học sinh bước đầu hình thành khái niệm Giới hạn 0 của dãy số. Tuy nhiên với
cách định nghĩa này, học sinh không thể dùng định nghĩa để chứng minh một dãy có Giới hạn 0 và làm các bài toán về chứng minh Giới hạn bằng định nghĩa, mà học sinh chỉ có mỗi một con đường là công nhận tất cả các Giới hạn cơ bản, cũng như các định lý về Giới hạn.
+) B ước 2: Định nghĩa “ Giới hạn L ≠ 0 của dãy số Un” là
''ta nói rằng dãy số thực (Un; n = 1,2,3,…) có giới hạn là L (L∈R), khi n → +∞ nếu với mọi số dương ε cho trước (nhỏ tuỳ ý) tồn tại một số tự nhiên N(ε), sao cho với mọi n > N(ε) thì Un −L <ε . Kí hiệu nlim→+∞Un = L''. Qua sự phân tích trên ta thấy cần có sự thống nhất giữa các quan điểm để học sinh lĩnh hội được các khái niệm, ngoài ra đảm bảo tính vừa sức, tính lôgic đúng đắn, từ đó giúp học sinh có sự nhận thức rõ ràng và sâu sắc hơn. Chính vì vậy, mà chương trình cải cách SGK lần này đã quán triệt tinh thần đó, của nhóm tác giả Phan Đức Chính, đó là cách 3:
2.1.1.3. Cách 3 : Của nhóm tác giả Đoàn Quỳnh chủ biên, 2004
Trước hết, thông qua ví dụ cụ thể điển hình, bằng việc tổ chức cho học sinh biểu diễn dãy số và nhận xét khoảng cách từ điểm Un đến tọa độ 0. Qua thao tác sư phạm, giáo viên hướng dẫn học sinh làm sao nêu bật lên được mặt logic của khái niệm Giới hạn 0, một cách trực quan nhất, lúc này cả ba mặt ''trực giác số '' , ''trực giác hình học'' và ''suy luận'' đều được đề cập nhằm hình thành ở học sinh biểu tượng ban đầu về khái niệm Giới hạn 0 của dãy số. Tuy nhiên, mặt ''suy luận'' chỉ được đề cập có mức độ. Vậy muốn đi đến khái niệm Giới hạn 0, học sinh lại cần hiểu được mệnh đề tổng quát ''Un nhỏ hơn một số dương bất kỳ, kể từ một số hạng nào đó trở đi''. Sau đó thông báo rằng với đặc trưng này dãy (Un) được gọi là có giới hạn 0 khi n → +∞.
Mệnh đề nêu trên chỉ dừng ở mức độ ''Un nhỏ hơn ...'', chứ chưa phải là ''
n
lệch rằng: ''nếu dãy (Un) có giới hạn là 0, thì Un phải là dãy đơn điệu và dần tới 0 chỉ từ một phía, thậm chí (Un) phải dương''. Nhưng dãy (Un) có thể là dãy không đơn điệu và có thể dần về 0 từ bên trái hay từ bên phải, hoặc từ cả hai phía. Mục đích chủ yếu vẫn là giúp học sinh hiểu một cách trực giác khái niệm Giới hạn 0, do đó mô tả đặc trưng của dãy số này trên cả hai phương diện ''trực giác số'' và ''trực giác hình học''. Để khắc phục khuyết điểm này và cũng cố biểu tượng ban đầu về Giới hạn 0, nên xét ví dụ dãy đan dấu:
Ví dụ 5: Chứng minh dãy số ( ) n u n n 1 − = có giới hạn 0 Xét : nlim→+∞ n u n n n ) 1 ( lim − = +∞ → = 0 ⇔un −0 = (−n1) = 1n <ε (nhưng ở đây không dùng kí hiệu ε này mà gọi là “ nhỏ hơn một số dương bất kỳ", kể từ một số hạng nào đó trở đi).
Đồng thời hợp thức hóa tính chất cơ bản của dãy số đã cho là: ''Hơn nữa người ta chứng minh được rằng Un có thể nhỏ hơn một số dương bất kỳ, kể từ một số hạng nào đó trở đi''. Cụm từ ''nhỏ hơn một số dương bất kỳ, kể từ một số hạng nào đó trở đi'' có thể còn mơ hồ đối với học sinh, vì thế ta phải cho cụ thể hai giá trị số dương là:
nếu số dương là 0,1 tức = 1 <0,1⇒n>100 n un thì từ số hạng thứ 101 trở đi; với số dương là 0, tức = 1 <0,01⇒n>10000 n un thì từ số hạng thứ 1 001 trở đi.
Việc trình bày hỗn hợp ''trực giác - suy luận'' như vậy cho phép đảm bảo được cả tính sư phạm và tính chặt chẽ Toán học trong việc khẳng định tính chất cơ bản của dãy số đã cho. Giới hạn L≠ 0 được định nghĩa qua khái niệm Giới hạn 0 và theo con đường suy diễn (nghĩa là phát biểu ngay định nghĩa, sau đó trình bày ví dụ củng cố ).
Vấn đề là đưa vào khái niệm Giới hạn qua “mô tả” mà không trình bày định nghĩa chính xác, nên khó có thể lột tả được bản chất khái niệm, trên tinh thần đó trong SGK mới, khái niệm Giới hạn 0 và Giới hạn +∞ được đưa vào theo con đường qui nạp. Cụ thể qua các hoạt động và ví dụ, khái niệm được
“mô tả” nhờ vào các ghi nhận "trực giác số" và ''trực giác hình học" với “ suy luận”. Còn các khái niệm Giới hạn L≠ 0 và Giới hạn -∞ được định nghĩa qua các Giới hạn 0 và Giới hạn +∞.
Ngoài ra, SGK còn cho một số kết quả của giới hạn cơ bản đặc biệt, để học sinh sử dụng kết quả đó làm cơ sở chứng minh những bài toán về giới hạn (mà theo như cách 2, của bước 1 là đối với loại toán này ta không có cách giải, mà chỉ có cách là công nhận các kết quả và định lý về giới hạn).
2.1.2. Các cách tiếp cận định nghĩa khái niệm ” giới hạn hàm số”
Ở Phổ thông trong các bộ SGK Giải tích - Đại số lớp 11 khái niệm Giới hạn hàm số được các tác giả trình bày theo hai ngôn ngữ khác nhau là: ''dãy'' và ''ε ,δ ''.
2.1.2.1. Cách 1: Của nhóm tác giả Ngô Thúc Lanh chủ biên, 1996
theo ngôn ngữ ''ε ,δ''
Định nghĩa khái niệm Giới hạn của hàm số theo ngôn ngữ ''ε ,δ'' là: '' Ta nói rằng hàm số y = f(x) dần tới L khi x dần tới a (hoặc có giới hạn L khi x→ a) nếu mọi số dương cho trướcε (nhỏ bao nhiêu tùy ý), ta có thể tìm được một số dương δ
sao cho khi 0 < x−a <δ thì f(x)−L <. Kí hiệu limx→a f( )x = L".
Cách phát biểu này đảm bảo về tính chính xác và tổng quát, tuy nhiên lại không đảm bảo về tính vừa sức đối với học sinh vì ngôn ngữ khá trừu tượng và khó tiếp thu. Nhất là đối với loại bài tập dùng định nghĩa để chứng minh giới hạn của hàm số học sinh phải có bước dự đoán kết quả rồi áp dụng định nghĩa để chứng minh và việc tìm số δ theo ε quả là không hề đơn giản.
2.1.2.2. Cách 2: Của nhóm tác giả Phan Đức Chính chủ biên và một sốSGK của các nhóm tác giả khác theo ngôn ngữ ''dãy'' SGK của các nhóm tác giả khác theo ngôn ngữ ''dãy''
Trình bày theo ngôn ngữ ''dãy'' các cách phát biểu có thể khác nhau nh-
ưng nhìn chung đều cơ bản đảm bảo tính chính xác về khoa học và cũng không kém phần trừu tượng hơn so với ngôn ngữ ''ε ,δ''. Tuy nhiên nó dựa trên khái niệm dãy số đã được định nghĩa trước đó cùng với sự “mô tả” đã
làm cho học sinh dễ tiếp nhận hơn, bởi tính kế thừa của nhận thức. Tức từ khái niệm Giới hạn dãy số có thể chuyển qua Giới hạn hàm số bằng cách chọn định nghĩa qua Giới hạn dãy số. Cụ thể định nghĩa ''Giới hạn hàm số'' trong SGK có thể phát biểu ở các dạng sau: