L =f(a) ≠ f(a)
A R1 R2R 3R
1.2.2. Quan điểm thứ nhất: Giải tích mà Đại số hóa tăng cường ở THPT
THPT
Quan điểm này giúp ta ý thức về những khó khăn lớn mà học sinh sẽ gặp phải lúc mới làm quen với kiểu tư duy biến thiên, liên tục, vô hạn và khi học về sử dụng các phương pháp, kỹ thuật xấp xỉ.
Nhiều công trình nghiên cứu của các tác giả trong và ngoài nước đã làm rõ những khó khăn của học sinh khi tiếp thu khái niệm Giới hạn, cũng như những chứng ngại khoa học luận liên quan tới khái niệm này, những khó khăn thao tác với các kỹ thuật đánh giá xấp xỉ, với các bất đẳng thức và giá trị tuyệt đối. Hơn nữa, hiểu được rằng từ một hệ thống chặn trên, chặn dưới hay từ một dãy những xấp xỉ có thể đạt những kết quả chính xác, rằng một khái niệm có thể được định nghĩa bằng các phương pháp đánh giá xấp xỉ và thừa nhận được
tính triết học trong những kiểu như khi thực hiện chặn trên, chặn dưới một hàm số hay dãy số ta thường dùng các kỹ thuật: Chọn số hạng trỗi nhất trong một biểu thức; thêm bớt mẫu số, tử số của một phân thức,... Như vậy khi giải quyết các bài toán Giải tích điều này cũng tạo nên một chướng ngại khoa học luận mấu chốt, ngay cả đối với các nhà Toán học trong các thế kỷ trước. Để tránh những khó khăn như vậy, quan điểm phổ biến là "Đại số hóa tăng cường Giải tích". Theo quan niệm này, người ta cố gắng thu hẹp sự ngắt quãng giữa Đại số và Giải tích, xây dựng cái mới trong sự liên tục chặt chẽ với cái cũ và hy vọng rằng học sinh sẽ dần dần tiếp thu được kiến thức mới. Vì vậy, người ta tìm cách tránh đến mức tới đa các phương pháp và kỹ thuật xấp xỉ, thay vào đó là các phép toán và quy trình kiểu Đại số. Những vấn đề lớn như : xấp xỉ các số, xấp xỉ các hàm đều không đề cập đến nữa.
Ví dụ 1: Chứng minh: Hàm số f(x) = xx+1 có giới hạn là 0 khi x → 0. Ta nhận thấy :
- Kĩ thuật Đại số cho ngay kết quả : limx→0 1=00+1 +
x x
= 0.
- Bằng kỹ thuật đáng giá, xấp xỉ của Giải tích, lời giải có thể là: Với ∀ x ∈( -21 ; 21 ), ta có 12 < 1+x <23 ⇔ 32 < 1+1x < 2 ⇒
32 2
x ≤ 1+xx ≤2 x ⇒ f(x) ≤2 x .
Theo định lý so sánh đã biết, suy ra: limx→0f(x) = limx→0 x+x1 = 0.
Nghiên cứu Giới hạn trong ''Giải tích Đại số hóa'' thường được thực hiện theo các bước sau đây :
a) Bước 1:
Đưa vào khái niệm Giới hạn, bước này lại có hai xu thế chủ yếu:
+) Xu thế thứ nhất: Tìm cách định nghĩa chặt chẽ các khái niệm Giới hạn theo ngôn ngữ ''ε ,δ'' , ''ε , N ''.
+) Xu thế thứ hai: Thì ngược lại tìm cách tránh ngôn ngữ hình thức. Người ta chỉ yêu cầu học sinh “hình dung” các khái niệm này bằng cách trình
bày khái niệm Giới hạn theo con đường thực nghiệm, nghĩa là từ những con số hoặc đồ thị để cho một tư tưởng tổng quát và nếu cần có thể đi đến các định nghĩa kiểu ''mô tả'', chẳng hạn:
Đối với định nghĩa trong SGK Đại số và Giải tích lớp 11 của Phan Đức Chính (1999): ''dãy số (Un; n = 1,2,3,…) gọi là dần đến 0 hay có giới hạn 0 khi n → +∞, nếu un càng nhỏ khi n càng lớn, tức là nếu un có thể nhỏ bao nhiêu tùy ý miễn là chọn n đủ lớn''. Thông thường, trước hết ta đưa ra khái niệm giới hạn 0, sau đó định nghĩa giới hạn L≠ 0.
b) Bước 2:
Nghiên cứu Giới hạn của một dãy số hay hàm số cơ bản và đơn giản, nhờ vào định nghĩa hay quan sát thực nghiệm, thậm chí công nhận.
c) Bước 3:
Đưa vào các định lý bản chất Đại số về Giới hạn của tổng, hiệu, tích, thương (thông thường được công nhận, không chứng minh).
Trên cơ sở các dãy số hay hàm số cơ bản, các định lý này cho phép thu gọn nghiên cứu Giới hạn vào việc sử dụng các phép toán và những qui trình kiểu Đại số. Chúng cho phép đưa ra các quy tắc kiểu thuật toán như để khử các dạng vô định về Giới hạn, mà không cần đến kỹ thuật kiểu xấp xỉ. Tiến trình nêu trên cũng được áp dụng tương tự trong việc nghiên cứu tính liên tục, đạo hàm, nguyên hàm tích phân.
Như vậy, các phương pháp và kỹ thuật đánh giá xấp xỉ được tránh gần như hoàn toàn. Ngay cả với các khái niệm, dù được định nghĩa chặt chẽ bằng ngôn ngữ hình thức, thì học sinh cũng rất ít có dịp thao tác trên chúng mà th- ường chỉ làm việc về tính giới hạn, tính liên tục... theo kiểu Đại số, theo những qui tắc có tính thuật toán: phân tích hàm số đã cho thành tổng, thành tích của các hàm số sơ cấp cơ bản có giới hạn hay liên tục.
Tóm lại, giảng dạy Giải tích chủ yếu chỉ xoay quanh các phép tính: giới hạn, đạo hàm, nguyên hàm tích phân, của một lớp các hàm số khá đơn giản. Còn các vấn đề liên quan đến xấp xỉ gần như bị loại bỏ.