L =f(a) ≠ f(a)
d)Khi tìm giới hạn của dãy số
Ta sẽ gặp một số trường hợp đặc biệt, mà khi đó các qui tắc thông thường và các định lý về giới hạn hữu hạn không cho phép xác định được giới hạn của các dãy số là có hay không và nếu có thì bằng bao nhiêu đấy chính là các dạng vô định của dãy số .
Ví dụ 18: Xét dạng vô định 0 0 : nlim→+∞ n n v u
, với nlim→+∞ ( )un =nlim→+∞ ( )vn = 0 , cụ thể:
+)Với:un= 2 1
n ,vn =n1 mànlim→+∞( 2 1
n )= 0,nlim→+∞(n1 ) =0,nhưng:nlim→+∞ n
n v u =xlim→+∞( n 1 )= 0.
+)Với:un=n1 ,vn =n1 , mànlim→+∞un =nlim−>+∞vn = 0 , nhưngnlim→+∞ n
n v u = nlim→+∞ 1 = 1 . +)Với:un =n1 ,vn = 2 1
n , mànlim→+∞un= 0, nlim→+∞vn=0 nhưngnlim→+∞ n
n v u =nlim→+∞n = + ∞. +)Với: un=n1 ,vn = - 2 1
n , mànlim→+∞un=nlim→+∞vn=0, nhưngnlim→+∞ n
n v u =nlim→+∞(- n) =-∞. +)Với:un= n n ) 1
(− ,vn =n1 ;nlim→+∞un =nlim→+∞vn=0,thìnlim→+∞ n
n
v u
=nlim→+∞ (-1)n
không tồn tại.
Qua ví dụ 18 này, thì kết quả của dạng vô định 00 có thể bằng: 0, hằng số
L≠ 0, hay ( ±∞ ), hoặc không tồn tại.
Vậy các trường hợp tổng quát về dạng vô định (00 ; ∞∞;∞ - ∞; 0. ∞) cụ thể :
*)Dạng vô định (00 ) là : nlim→+∞ n
n
v u
, vớinlim→+∞ ( )un =nlim→+∞ ( )vn = 0. *)Dạng( ∞ ∞
)là:nlim→+∞ n
n
v u
,vớinlim→+∞ ( )un =nlim→+∞ ( )vn =+∞hoặcnlim→+∞ ( )un =nlim→+∞ ( )vn =-∞ *)Với(∞-∞)là:nlim→+∞(un −vn);nlim→+∞ ( )un =nlim→+∞ ( )vn =+∞hoặcnlim→+∞ ( )un =nlim→+∞
( )vn =-∞
*)Dạng(0.∞) là:nlim→+∞ (un.vn), với nlim→+∞ ( )un = 0 vànlim→+∞ ( )vn = +∞hoặcnlim→+∞ ( )vn = -∞ (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Tương ứng với từng dạng vô định này thì đã có từng loại phương pháp để giải, được trình bày rõ ở ví dụ và bài tập có trong SGK và các sách tham khảo .