L =f(a) ≠ f(a)
A R1 R2R 3R
1.2. QUAN ĐIỂM VỀ GIẢI TÍCH VÀ VỊ TRÍ ĐẶC ĐIỂM GIỚI HẠN Ở THPT
Giải tích Toán học, cùng với Đại số là một trong hai nội dung chính của chương trình Toán ở Phổ thông. Giải tích là tên gọi chung của một số bộ môn Toán học dựa trên khái niệm hàm và Giới hạn, riêng Giải tích lớp 11 ở Phổ thông chỉ bao gồm: Giới hạn về dãy số, hàm số, hàm số liên tục.
Quan niệm phổ biến cho rằng, học sinh bắt đầu học Giải tích từ khi học khái niệm Giới hạn (thường ở lớp 11) và Giới hạn cũng là ranh giới phân chia giữa Đại số và Giải tích.
1.2.1. Vị trí đặc điểm của Giới hạn ở THPT
Chủ đề Giới hạn là một chủ đề cơ bản, có vị trí đặc biệt quan trọng trong Giải tích Toán học nói chung và Giải tích Toán học của phổ thông nói riêng, không những như là một đối tượng nghiên cứu trọng tâm của đối tượng hàm số mà còn là một công cụ đắc lực của Giải tích trong lý thuyết vi phân hàm, lý thuyết xấp xỉ, lí thuyết biểu diễn,…ngoài ra chủ đề này có nhiều ứng dụng về mặt lý thuyết cũng như thực tiễn. Trên cơ sở nội dung của chủ đề này, ta có thể giải quyết nhiều vấn đề thuộc phạm vi Đại số, Số học, Hình học, Vật lý, ... Vì vậy, dạy học chủ đề Giới hạn ở trường THPT có ý nghĩa rất quan trọng. Có thể nói Giới hạn là kiến thức mở đầu cho bộ môn Giải tích ở trường phổ thông, nó là cơ sở đối với hai phép tính cơ bản của Giải tích toán học là phép tính đạo hàm và phép tính vi phân. Giới hạn còn được áp dụng như một phương pháp để giải một số dạng toán như: tính đạo hàm của hàm số tại một điểm, tìm tiệm cận của đồ thị, chứng minh các đẳng thức và bất đẳng thức, xét sự tồn tại nghiệm của phương trình và bất phương trình ... Dãy số, hàm số cùng với khái niệm Giới hạn xây dựng khái niệm đạo hàm, vi phân, tích phân. Các bài toán về tính Giới hạn, các phương pháp thông dụng và vấn đề chuyển qua Giới hạn trong các phép toán về Giới hạn là nền tảng cơ bản của Giải tích
toán học và là một trong những phép toán cốt lõi nhất của Giải tích hiện đại đây là cơ sở để học sinh có khả năng tiếp tục học lên .
Vậy Đại số đặc trưng bởi kiểu tư duy “hữu hạn “ , “ rời rạc” , “ tĩnh tại “ , còn khi học về Giải tích vận dụng kiểu tư duy “ vô hạn “ , “ liên tục “ , “ biến thiên“ mà khái niệm Giới hạn chính là cơ sở cho phép nghiên cứu các vấn đề gắn liền với sự “ vô hạn “ , “ liên tục “ , “ biến thiên “ đó, chẳng hạn:
Đối với phép toán đặc trưng bởi Đại số đã học cho tương ứng một tập hữu hạn phần tử với một phần tử, như phép toán cộng :
( x1; x2 ) x = x1+ x2
Còn Giới hạn là phép toán cho tương ứng một tạp vô hạn phần tử với một phần tử, như phép toán: ( ) ( ) n n n n n 1 lim 0 1 = − − +∞ →
Để thấy rõ sự khác biệt nhau giữa các xu hướng trong dạy học Giải tích ở trường Phổ thông có thể nhờ việc so sánh dựa chủ yếu vào việc phân tích mối quan hệ giữa mặt Đại số và mặt xấp xỉ của Giải tích, cụ thể là: