2.1.2.1 Phương trình máy tính
Dùng máy tính để mô hình hoá hệ thống có nghĩa là đƣa vào máy tính các dữ liệu ban đầu,máy tính xử lý các dữ liệu đó theo chức năng hoạt động của hệ thống S, đầu ra của máy tính cho ta các trạng thái của hệ thống S theo thời gian. T 0 1 2 k-1 k [xk] m + 1 ... 0 1 2 k-1 k n ...
Hình 2.1 : Quan hệ giữa tín hiệu vào và ra của máy tính
[yk] MT
[xk]
Tín hiệu vào [Xk] và tín hiệu ra [Yk] của MT đều là những tín hiệu số (gián đoạn). Sau đây chúng ta xét quan hệ giữa chúng.
Bƣớc gián đoạn hoá T (bƣớc cắt mẫu) là nhịp làm việc của MT. Dãy tín hiệu vào [xk] = x(0), x(T), x(2T) ... x(kT)
Dãy tín hiệu ra [yk] = y(0), y(T), y(2T) ... y(kT).
Khi khảo sát ta chấp nhận giả thiết là thời gian tính của MT không đáng kể nên có thể bỏ qua, có nghĩa là dãy tín hiệu ra [yk] hoàn toàn không đồng nhất với dãy tín hiệu vào [xk].
Tín hiệu ra ở thời điểm k tức y(kT) phụ thuộc vào giá trị của n tín hiệu ra và m + 1 tín hiệu vào xảy ra trƣớc đó. Các giá trị của m tín hiệu vào và n tín hiệu ra đƣợc lƣu trữ trong bộ nhớ của máy tính.
Nhƣ vậy quan hệ giữa tín hiệu ra và tín hiệu vào của MT đƣợc viết:
m i n j j n i m kT iT a y kT jT b kT y 0 1 ; (2 – 1) Trong đó : an, bm – các hệ số i = 0, m, j = 0; với mn
Phƣơng trình (2 – 1) đƣợc gọi là phương trình máy tính, biểu thị quan hệ tuyến tính giữa tín hiệu ra với tín hiệu vào của MT.
Chú ý rằng trong phƣơng trình (2 – 1) luôn luôn có quan hệ mn có nghĩa là tín hiệu ra phụ thuộc vào m tín hiệu vào trong quá khứ. Nếu m>n thì tín hiệu ra phụ thuộc cả vào tín hiệu vào trong tƣơng lai là điều không xảy ra trong thực tế đƣợc.
Vì tín hiệu ra [yk] và tín hiệu vào [xk] đều có cùng bƣớc gián đoạn T nên để cho gọn phƣơng trình (2 – 1) có thể viết lại:
m i n j i m x k i y k j b k y 0 1 (2 – 2) Phƣơng trình (2 – 2) có thể triển khai thành:
yk) + an-1y(k-1) + … + a1y(k – n + 1) + a0y(k – n) =
Phƣơng trình (2 – 3) có dạng phƣơng trình sai phân bậc n.
Các hệ số an-1, …, a0; bm … b0 đặc trƣng đặc tính động của hệ thống. Nếu các hệ số là hằng ta có phƣơng trình sai phân tuyến tính phản ánh hệ dừng (đặc tính không biến đổi theo thời gian), trong trƣờng hợp ngƣợc lại a(t), b(t) – hệ không dừng. Ở đây ta chỉ khảo sát các hệ tuyến tính dừng mà thôi.
Bậc của phƣơng trình sai phân là sai biệt giữa bậc số của hạng tín hiệu ra lớn nhất và bé nhất. Trong trƣờng hợp phƣơng trình (2 – 3) bậc của phƣơng trình là (k)–(k–n)=n.
Vậy ta có thể kết luận rằng phương trình máy tính có dạng của phương trình sai phân tuyến tính.
Từ phƣơng trình (2 – 3) ta có thể viết:
y(k) = -an-1y(k – 1) – an-2y(k – 2) – ... – a0y(0) + bm-1x(k – 1) ... + b0x(0)
Nhƣ vậy nếu biết điều kiện đầu x(0), y(0), bằng cách tăng dần bƣớc k ta có thể tính đƣợc y(k) ở các thời điểm khác nhau. Các kết quả tính toán đƣợc lƣu trữ trong bộ nhớ và giá trị tín hiệu ra của bƣớc tiếp theo phụ thuộc vào giá trị của tín hiệu vào và tín hiệu ra của các bƣớc trong quá khứ.
2.1.2.2 Phương pháp mô phỏng hệ liên tục bằng máy tính
Từ các phân tích ở trên ta thấy rằng nếu muốn dùng máy tính số để mô phỏng hệ liên tục thì phải mô tả hệ liên tục dƣới dạng phƣơng trình sai phân tuyến tính, sau đó đƣa phƣơng trình sai tuyến tính đó vào máy tính để tìm các đặc tính của hệ liên tục.
Hệ liên tục thƣờng đƣợc biểu diễn bằng phƣơng trình vi tích phân. Để biến đổi phƣơng trình vi tích phân thành phƣơng trình sai phân tƣơng ứng có thể dùng phƣơng pháp số Runge – Kutta. Tuy nhiên phƣơng pháp này có khối lƣợng tính toán lớn, đặc biệt đối với phƣơng trình có bậc từ 3 trở lên thì tính toán rất phức tạp nhiều khi không thực hiện đƣợc. Vì vậy ở phần tiếp theo sẽ trình bày phƣơng pháp tiện dụng để tìm phƣơng trình sai phân của hệ liên tục.
Từ phƣơng trình Laplace W(s) của hệ liên tục, bằng cách biến đổi số s
thành z, ngƣời ta có thể tìm đƣợc phƣơng trình biến đổi Z tƣơng ứng W(z), rồi tìm ngƣợc lại phƣơng trình sai phân của hệ để giải trên máy tính.