L =f(a) ≠ f(a)
d) Ví dụ minh họa dạy học khái niệm Giới hạn dãy số theo hớng phát huy
TTCNT của học sinh.
*) Xây dựng định nghĩa khái niệm Giới hạn dãy số:
Để gợi nhu cầu cho học sinh nhận thức, hình dung đợc nội dung khái niệm, phát hiện dấu hiệu bản chất và khái quát hình thành, củng cố, khắc sâu khái niệm về Giới hạn của dãy số điều quan trọng là học sinh hiểu đợc bản chất khái niệm mệnh đề, không nên coi trọng lập luận chặt chẽ chính xác toán học, đa ra xét ví dụ giúp học sinh hình dung giới hạn của dãy số:
B ớc 1 : Tổ chức cho học sinh phát hiện bản chất khái niệm giới hạn dãy số
Ví dụ 20: Xét dãy số un = ( )
n n
1
− ; n = 1,2,3,…
(?1): Viết một số các số hạng dạng khai triển của dãy số đó ? (!) : Là -1, ,... 24 1 , 23 1 ,..., 11 1 , 10 1 ,..., 4 1 , 3 1 , 2 1 − − − .
(?2) :Thông qua biểu diễn các số hạng của dãy un = ( )
n n
1
− trên trục số nhận xét vị trí tơng đối của các điểm đó với điểm 0 ?
un un+2 → 0 ← un+1 ( Dãy có giới hạn 0)
(?3): Khi n→+∞thì khoảng cách từ điểm un với điểm 0 tức |un- 0| = |un| = ? nhận xét ?
(!) : Khoảng cách từ điểm un đến điểm 0, tức | un| = n1 trở nên nhỏ bao nhiêu cũng đợc (nhng không thể bằng 0), khi n càng lớn.
(?4) : Hãy minh họa rõ qua lập bảng ? (!) : Cụ thể n 1 2 10 11 76 77 1000000 1000001 1000002 … … … …→ +∞ un 1 12 … 101 111 … 761 771 …10000001 10000011 10000021 ... 0 →
(?5) : Mọi số hạng đã cho, kể từ số hạng thứ mấy trở đi, thì đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn số dơng (ε ) là ?
10000001 1 Vì sao ? ( !) : Với số dơng 1000000 1 tức là |un| = n 1 < 1000000 1 ⇔ n > 1000000, nghĩa là bắt đầu từ số hạng thứ 1000001 trở đi; (!) : Vì khi đóthì |un| < 1000000 1 ⇔ -10000001 < un < 1000000 1 tức là khoảng (-10000001 ;10000001 ) trên trục số thực, chứa tất cả các số hạng của dãy un =
( )
n n
1
− và bên ngoài khoảng đó chỉ chứa hữu hạn các số hạng thứ tự từ 1 đến 1000000 của dãy số đã cho
Nh vậy mọi số hạng của dãy số đã cho đều có giá trị tuyệt đối nhỏ hơn một số thực dơng (ε ) nhỏ tùy ý cho trớc (nhng không thể bằng 0), kể từ một số hạng nào đó trở đi, ta nói rằng dãy số un = ( ) n n 1 − có giới hạn là 0. B
ớc 2 : Khái quát hóa và nêu ra định nghĩa khái niệm giới hạn của dãy số
(!) : Định nghĩa1:" nlim→+∞un = 0 ⇔ ∀ | un | < m là một số thực dơng nhỏ tùy ý cho
trớc (nhng không bằng 0), kể từ một số hạng nào đó trở đi".
(?7) : áp dụng tính nlim→+∞C = ? Từ đó hãy phát biểu định nghĩa dãy có giới hạn L ≠ 0 ( L ∈ R) qua định nghĩa dãy số có giới hạn 0 ? cho ví dụ minh họa?
(!) : Định nghĩa 2: nlim→+∞un = L ⇔ nlim→+∞(un L) = 0 .–
(?*8) : Trong định nghĩa sử dụng cụm từ ''nhỏ tùy ý '' có ý nghĩa gì ?
(!*) : Thực ra, nếu không có lời giải thích đó học sinh sẽ ít chú trọng đến tính chất ''vô cùng bé '' và tính “biến thiên’’, đây là đặc trng của Giải tích mà học sinh chỉ nghĩ đến giá trị cố định của số dơng, thì t duy lại theo kiểu ''tĩnh tại'', ''rời rạc’', ''hữu hạn'' của Đại số. Lời giải thích này hớng vào kiểu t duy ''biến thiên'', ''liên tục'', ''vô hạn'' của Giải tích.
(?9) : Trở lại định nghĩa 1: nếu + Thay dấu “ < “ , bởi dấu ” >”; + Thay ε bởi - M ( hoặc M );
+ Bỏ dấu giá trị tuyệt đối của Un miền giá trị của Un = ? ; + Thay cụm từ “nhỏ tùy ý “ , bởi cụm từ “lớn tùy ý “ ;
thì đó là nội dung hai định nghĩa về khái niệm giới hạn âm vô cực ( dơng vô
cực), hãy phát biểu ?
(!) :Định nghĩa 3: "nlim→+∞un = +∞ ⇔ ∀ un > M , với M là một số thực dơng lớn tùy ý cho trớc, kể từ một số hạng nào đó trở đi".
(!): Định nghĩa 4: "nlim→+∞un = -∞ ⇔ ∀ un > - M, với M là một số thực dơng lớn tùy ý cho trớc, kể từ một số hạng nào đó trở đi ".
(? 10): Mối liên hệ giữa hai định nghĩa 3 và định nghĩa 4 ?
(!) : Xem định nghĩa dãy số un có giới hạn -∞ thông qua +∞ nh sau: ''Dãy số un đợc gọi là có giới hạn -∞ nếu nlim→+∞ (- un ) = +∞”.