*Ví dụ 1 : Cho tam giác ABC nội tiếp đưng tròn (O). D là một điểm chuyển động trên
cung BC không chứa đỉnh A. Nối A với D. Hạ CH vuông góc với AD. Minh hoạ quỹ tích của điểm H.
- Sử dụng Cabri ta vẽ hình, sau đó cho điểm D di chuyển, ta phát hiện được ít nhất có 3 điểm cố định thuộc quỹ tích:
- Điểm E (chân đường cao hạ từ đỉnh C đến cạnh AB tương ứng với trường hợp khi D chạy đến trùng với B).
- Điểm C (tương ứng với trường hợp D trùng với C) - Điểm F (chân đường cao hạ từ đỉnh A đến cạnh BC,
ứng với trường hợp AD trùng với đường cao hạ từ A đến BC). Như vậy, ta dựđoán quỹ tích là cung chứa góc.
* Ví dụ 2: Cho hình thoi ABCD có cạnh AB cố định. Minh hoạ quỹ tích giao điểm O của hai đường chéo của hình thoi đó.
Bước l: Sử dụng chuột cho hình thoi ABCD thay đổi.
- Hình thoi ABCD trở thành hình vuông ABCIDI => Xác định điểm O1 thuộc quỹ
tích.
- Hình thoi ABCD trở thành hình vuông ABC2D2 => Xác định điểm O2 thuộc quỹ
tích.
- Hình thoi ABCD có điểm C tiến trùng với
điểm B => Điểm O trùng với điểm B.
Như vậy, bằng trực quan cũng như bằng kiếm tra ta thấy rõ 3 điểm không thẳng hàng, vậy quỹ
tích có khả năng là một đường tròn đi qua B. Vì vai trò điểm A và B như nhau nên khi cho điểm D tiến trùng với điểm A, ta phát hiện được điểm A cũng thuộc quỹ tích. Ta dự đoán quỹ tích điểm O là
đường tròn nhận AB là đường kính.
Bước 2: Vẽ một trường hợp bất kỳ, ta kiểm tra điểm O có thuộc đường tròn nhận AB là đường kính hay không. Kết quả cho thấy "Điểm này nằm trên đối tượng".
* Ví dụ 3: Trong một đường tròn (O), AB là một đường kính cố định, M là một điểm chạy trên đường tròn. Nối MA, MB và trên tia đối của tia MA ta lấy điểm I sao cho MI = 2MB. Tìm tập hợp các điểm I nói trên.
Với Cabri ta cho vị trí điểm M thay đổi, qua ba vị
trí cụ thể ta có ngay dựđoán: quỹ tích điểm I không thể
là thẳng, như vậy có khả năng quỹ tích điểm I là một cung chứa góc. Từ đây gợi ý cho ta đi tìm yếu tố góc không đổi.
Điều đặc biệt ở bài này là: Nếu sử dụng tính luôn tựđồng dạng của tam giác MBI thì chỉ dừng ở việc đưa ra kết luận góc ∠ AIB không đổi. Vậy quỹ tích là cung chứa góc dựng trên đoạn thẳng AB. Tuy nhiên, với Cabri ta có được kết luận tương đối thú vị. Quỹ tích
điểm I là nửa đường tròn đường kính BIO. Trong đó Io nằm trên tiếp tuyên với đường tròn tại điểm A sao cho AIO = 2AB.
Ta mở rộng bài toán theo hai hướng sau:
+ MI = k.MB (với k là số thực dương cho trước).
Kết quả cũng rất thú vị. Quỹ tích là một phần của cung chứa góc đi qua
* Ví dụ 4: Cho BC là một dây cung cố định của đường tròn (O), A là một điểm chạy trên cung lớn BC sao cho tam giác ABC luôn có 3 góc nhọn. Gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ BC của đường tròn (O). Tìm quỹ tích các trung điểm I của AM.
Sau khi dựđoán quỹ tích, ta phải chứng minh được góc ∠ OIM không đổi bằng 900,
điểm M, O cốđịnh, suy ra I nằm trên đường tròn đường kính OM.
Ởđây có một yếu tố góc không tường minh (đó là tam giác ABC luôn có 3 góc nhọn). Như vậy chắc chắn ta phải kiểm tra giới hạn của quỹ tích. Bằng trực quan cho điểm A di chuyển và để lại vết của điểm I cho phép ta kiểm chứng được giới hạn của quỹ tích là phần cung (mầu đỏ). Từ trực quan, ta dễ dàng xác
định được hai vị trí giới hạn của điểm A là điểm A1 và A2 ( tương ứng với các đường kính CA1và BA2 của đường tròn (O)).
* Ví dụ 5: Cho hai đường thẳng vuông góc x, y giao nhau tại điểm O. Tìm quỹ tích
điểm M biết bình phương khoảng cách từđiểm M trên đường thẳng y bằng khoảng cách từ điểm M trên đường thẳng x .
Xét theo góc độ hình học giải tích thì quỹ tích điểm M chính là tập hợp các điểm M(x, y) sao cho y = x2. Tuy nhiên, với Cabri ta dựa hoàn toàn vào kiến thức hình học là định lý Talet để dựng quỹ tích.
- Dựng một đường tròn tâm O bán kính bằng 1 .
- Lấy một điểm X bất kỳ trên đường thẳng x và dựng đường tròn tâm O, có bán kính OX.
- Nối điểm X với giao điểm của đường thẳng y với (O,1) (chọn giao điểm về phía dưới
đường thẳng xi gọi là d1 .
điểm về phía dưới đường thẳng x) kẻ đường thẳng song song với đoạn thẳng (d1) nói trên gọi là d2.
- Xác định giao điểm A của d2 với đường thẳng x.
- Dựng đường tròn (O, OA). Đường tròn này cắt
đường thẳng y tại B.
- Qua X, B lần lượt dựng các đường thẳng vuông góc với x, y. Hai đường thẳng này giao nhau tại điểm M.
Dễ thấy MX = MB2.
- Cho điểm X di chuyển trên đường thẳng x để
minh hoạ quỹ tích cần tìm. Kết quả cho ta một parabol
.