hiệu E(X|B) được xỏc định bởi
)B B ( P ) X ( E XdP ) B ( P ) B | X ( E B B 1 1 = = ∫ Nhận xột 1.12 E(X|Ω)=EX; E(1A |B)=P(A|B)
Định nghĩa 1.13 Phõn phối điều kiện, mật độ điều kiện
Định nghĩa 1.14 Kỳ vọng điều kiện của X cho bởi Y = y với P(Y = y) > 0
Vớ dụ 1.15 Vớ dụ về tớnh kỳ vọng điều kiện của X cho bởi Y = y trong trường hợp rời rạc và liờn tục
Mệnh đề 1.16 EX=E(E(X|Y)) (tớnh kỳ vọng theo điều kiện)
Vớ dụ 1.17 Vớ dụ về tớnh EX phải dựa theo điều kiện Y 1.2.2. Kỳ vọng điều kiện tổng quỏt
Định nghĩa 1.18 Định nghĩa kỳ vọng điều kiện tổng quỏt
Mệnh đề 1.19 Sự tồn tại của kỳ vọng cú điều kiện (Định lý Radon- Nykodym)
Vớ dụ 1.20 Kỳ vọng điều kiện của biến ngẫu nhiờn X đối với
−
σ đại số sinh bởi biến ngẫu nhiờn rời rạc Y
Tớnh chất 1.21 Cỏc tớnh chất của kỳ vọng cú điều kiện
Định lý 1.22 Định lý về chuyển giới hạn dưới dấu kỳ vọng cú điều kiện
CHƯƠNG 2: MỘT SỐ KHÁI MỘT SỐ KHÁI NIỆM CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH NGẪU NHIấN
2.1. Quỏ trỡnh ngẫu nhiờn
Định nghĩa 2.1 Định nghĩa quỏ trỡnh ngẫu nhiờn, phõn lớp cỏc quỏ trỡnh ngẫu nhiờn, khụng gian trạng thỏi của quỏ trỡnh ngẫu nhiờn Vớ dụ 2.2 Cho vớ vụ về quỏ trỡnh ngẫu nhiờn cú tham số hoặc trạng thỏi rời rac, liờn tục
Định nghĩa 2.3 Phõn phối hữu hạn chiều của quỏ trỡnh ngẫu nhiờn Định nghĩa 2.4 Khỏi niệm 2 quỏ trỡnh ngẫu nhiờn tương đương, bằng nhau
Định nghĩa 2.5 Quỹ đạo và khụng gian quỹ đạo của quỏ trỡnh ngẫu nhiờn
Định lý 2.6 (Định lý tồn tại Kolmogorov)
Tồn tại khụng gian xỏc suất (Ω, ℑ, P) và quỏ trỡnh ) T t , X ( t ∈ xỏc định trờn (Ω, ℑ, P) nhận PI làm họ cỏc phõn phối hữu hạn chiều.
Định nghĩa 2.7 Cỏc đặc trưng: hàm trung bỡnh, phương sai, hàm tương quan
Vớ dụ 2.8 Vớ dụ tỡm về tỡm cỏc đặc trưng
Định nghĩa 2.9 Quỏ trỡnh đo được, thớch nghi, đo được dần, cadlag, caglad,..
Mệnh đề 2.10 Mối quan hệ giữa cỏc loại quỏ trỡnh trờn 2.2. Một số lớp quỏ trỡnh ngẫu nhiờn quan trọng
2.2.1 Quỏ trỡnh Gauss
2.2.2 Quỏ trỡnh Gia số độc lập, gia số khụng tương quan2.2.3 Quỏ trỡnh dừng 2.2.3 Quỏ trỡnh dừng
2.2.4 Quỏ trỡnh gia số độc lập dừng2.2.5 Quỏ trỡnh Markov 2.2.5 Quỏ trỡnh Markov
CHƯƠNG 3: MARTINGALE MARTINGALE
3.1. Định nghĩa và một số kết quả quan trọng
Định nghĩa 3.1 Lọc, dóy biến ngẫu nhiờn thớch nghi với lọc
Định nghĩa 3.2 Định nghĩa Martingale, martingale dưới, martingale trờn
Vớ dụ 3.3 Một số vớ dụ về martingale Mệnh đề 3.4