CHƯƠNG IV: Search and Evolutionary Scatter Search for ‘Tree-Star’ Network Problems, with Applications to Leased-Line Network Design
4.2. Xây dựng toán học
Chúng tôi xây dựng vấn đề STS như một vấn đề lập trình số nguyên 0-1 như sau. Trước tiên chúng ta xác định:
M: tập những node đích; N: tập những node Steiner;
cij: chi phí kết nối node đích i tới node Steiner j; djk: chi phí kết nối node Stenier j và k
Những biến quyết định của biểu thức là:
xi: một biến nhị phân bằng 1 khi và chỉ khi node Steiner i được chọn là hoạt động
yjk: biến nhị phân bằng 1 khi và chỉ khi node Steiner thứ j được liên kết tới node Steiner k
zij: một biến nhị phân bằng 1 khi và chỉ khi node đích i được liên kết tới node Steiner thứ j
Mô hình sau khi giảm thiểu:
(4.1) Với for i M (4.2) for i M, j N (4.3) for j < k; j,k N (4.4) for w S, S ⊂ N (4.5) (4.6)
for |S| 3 for j (4.7) for j < k, k (4.8) for i , j (4.9)
Trong việc xây dựng này, hàm mục tiêu (công thức 4.1) tìm cách giảm thiểu các khoản chi phí kết nối giữa các node đích và node Steiner, chi phí kết nối giữa các node Steiner với nhau, và thiết lập những chi phí cho những node Steiner hoạt động. Các hạn chế của công thức 4.2 chỉ rõ cấu trúc hình sao đòi hỏi mỗi node đích được kết nối tới chính xác một node Steiner. Hạn chế 4.3 chỉ ra rằng node đích chỉ có thể được kết nối với node hoạt động Stenier. Hạn chế 4.4 quy định rằng hai node Steiner có thể được kết nối khi và chỉ khi cả hai node đang hoạt động. Hạn chế 4.5 và 4.6 thể hiện cấu trúc cây bao trùm trên các node hoạt động Steiner. Đặc biệt biểu thức 4.5 quy định điều kiện cụ thể là số cạnh trong bất kỳ cây bao trùm phải ít hơn số node, trong khi biểu thức 4.6 là một hạn chế mà cũng đảm bảo rằng những kết nối sẽ được thiết lập cho node hoạt động Steiner thông qua cây bao trùm. Hạn chết 4.7 - 4.9 nói rõ các yêu cầu phi tiêu cực và rời rạc. Tất cả các biến quyết định là nhị phân.
Rõ ràng, các biến vector quyết định x là một biến then chốt cho vấn đề STS. Khi n- vector này được xác định, chúng ta có thể xác định giá trị yjk bằng việc xây dựng cây bao trùm tối thiểu thông qua chọn những node Steiner (những node mà có xj = 1), và sau đó xác định giá trị zij cho mỗi node đích I bởi việc kết nối nó tới node Steiner hoạt động gần nhất của nó, ví dụ, chúng ta có zij = 1 khi và chỉ khi cij = min{cik| xk = 1}