Về mặt toán học có một liên kết trực tiếp giữa đáp ứng xung và đáp ứng tần số, gọi là biến đổi Fourier. Đáp ứng tần số là biến đổi Fourier của đáp ứng xung.Có một lý do quan trọng cho việc nghiên cứu mối quan hệ giữa miền thời gian và tần số liên quan tới bộ lọc. Đặc biệt, sự lựa chọn bộ lọc phụ thuộc vào liệu một ứng dụng yêu cầu bộ lọc với một tính chất theo miền thời gian nào đó và tính chất theo miền tần số nào đó. Và đôi khi chúng ta phải từ bỏ cái này để đổi lấy cái khác giữa 2 miền. Ví như một đáp ứng trong miền thời gian trơn và một đáp ứng trong miền tần số nhọn. Một bộ lọc với đáp ứng trong miền thời gian trơn thì sẽ không thu được một lớp chuyển nhọn giữa dải thông và dải chặn. Cho tới này thì chỉ có 2 hướng mô tả là đáp ứng trong miền thời gian và đáp ứng trong miền tần số. Một tham số quan trọng khác là trễ nhóm (liên quan tới đáp ứng trong miền thời gian). Trễ nhóm là đơn vi đo tốc độ tín hiệu của các tần số khác truyền qua bộ lọc. Nói chung, trễ nhóm tại một tần số là không giống với trễ nhóm tại một tần số khác, trễ nhóm là một đại lượng đặc trưng phụ thuộc tần số. Điều này có thể gây ra một vấn đề khi bộ lọc phải cho qua một nhóm các tần số đồng thời. Vì việc truyền tần số khác nhau với một tốc độ khác nhau nên các tín hiệu có xu hướng trải ra
khỏi nhau trong miền thời gian. Điều này trở thành một vấn đề trong ứng dụng truyền thông dữ liệu băng rộng, điều quan trọng đó là các tín hiệu gửi qua bộ lọc phải có mặt tại đầu ra bộ lọc tại một thời điểm.
Có nhiều lớp bộ lọc trong các tài liệu kỹ thuật. Tuy nhiên trong hầu hết các lĩnh vực ứng dụng chúng ta có thể thu hẹp tới 3 họ bộ lọc cơ bản. Mỗi dạng bộ lọc được tối ưu cho một tính chất đặc trưng trong miền thời gian hoặc tần số. Ba dạng bộ lọc đó là Chebyshev, Gaussian, Legendre. Những ứng dụng bộ lọc yêu cầu một đáp ứng nhọn về mặt tần số thì tốt nhất dùng bộ lọc Chebyshev. Tuy nhiên, phải thừa nhận rằng rung và quá mức (overshoot) trong miền thời gian không phải là vấn đề đối với những ứng dụng như thế. Ngược lại, những ứng dụng bộ lọc với yêu cầu tính chất trong miền thời trơn (overshoot, ringing tối thiểu và trễ nhóm là hằng số) tốt nhất dùng họ bộ lọc Gaussian. Trong những ứng dụng này thì sự chuyển nhọn là không phải là yêu cầu. Với những ứng dụng khác với các yêu cầu nằm giữa hai lựa chọn trên thì họ lọc Legendre là lựa chọn tốt nhất.
3.9.1Đáp ứng của họ Chebyshev
Họ Chebyshev nói chung cho đặc trưng trong miền tần số sắc nét (sharp). Như thế đáp ứng trong miền thời gian kém với quá ngưỡng (overshoot) và rung (ringing) đáng kể, còn trễ nhóm phi tuyến. Điều này làm cho bộ lọc Chebyshev hợp với các ứng dụng mà trong đó đặc trưng miền tần số cần quan tâm vượt trội, trong khi đặc trưng thời gian là ít quan trọng.
Họ Chebyshev có thể được chia thành 4 dạng đáp ứng con. Đó là đáp ứng Butterworth, đáp ứng Chebyshev, đáp ứng Inverse Chebyshev và đáp ứng Cauer- Chebyshev (cũng được gọi là elliptical-tĩnh lược). Hình vẽ dưới đây chỉ ra đáp ứng thông thấp chung của các dạng bộ lọc Chebyshev.