PHÉP ĐỔI BIẾN QUA TỌA ĐỘ CẦU TRONG 3 Xét

w 12  22  3 2 Dođó, ta định nghĩa tích phân của hàm F trên mặt cong S như sau

4.4.2. PHÉP ĐỔI BIẾN QUA TỌA ĐỘ CẦU TRONG 3 Xét

Xét

g : 0,0, 20, → 3

r,,  rsincos,rsinsin,rcos ≡ g1r,,,g2r,,,g3r,,.

Dgr,,  ∂g1 ∂r ∂g1 ∂ ∂g1 ∂ ∂g2 ∂r ∂g2 ∂ ∂g2 ∂ ∂g3 ∂r ∂g3 ∂ ∂g3 ∂ 

sincos −rsinsin rcoscos

sinsin rsincos rcossin

cos 0 −rsin

.

Jgr,,  detDgr,,  −r2sin,

|Jgr,,|  r2sin.

Dùngđịnh lý 4.3.3 với phép biến đổi qua tọađộ cầu trong 3 chof ∈ ℒ3,. Ta đặt

f∘gr,,  frsincos,rsinsin,rcos, r,, ∈ 0,0, 20,. Khi đó hàmf∘g ∈ ℒ0,0, 20,, và ta có

3fxdx  0,0,20,f∘gr2sindr,,

 002

0frsincos,rsinsin,rcosr2sindrdd.

Ví dụ4.2.1.B

kínhR.

g : 0,R0, 20, → BR  x,y,z ∈ 3 : x2 y2z2 ≤ R2 r,,  rsincos,rsinsin,rcos.

Chof ∈ ℒBR,, khiđó hàmf∘g ∈ ℒ0,R0, 20,,và ta có tích phân

B

Rfxdx đổi thành

B

Rfxdx  0,R0,20,f∘gr2sindr,,

 0R02

0frsincos,rsinsin,rcosr2sindrdd.

Ví dụ4.2.2.B

R

fxdx, BR  x,y,z ∈ 3 : x2 y2 z2 ≤ R2,z ≥ 0: Nửa hình cầu trên tâmO bán kínhR.

g : 0,R0, 20, 2  → BR  x,y,z ∈ 3 : x2 y2z2 ≤ R2,z ≥ 0 r,,  rsincos,rsinsin,rcos.

Chof ∈ ℒBR,, khiđó hàmf∘g ∈ ℒ0,R0, 20, 2 , và ta có tích phân

BR R fxdx đổi thành B R fxdx  0,R0,20, 2f∘gr2sindr,,  0R02

02 frsincos,rsinsin,rcosr2sindrdd.

Ví dụ4.2.3.fxdx,  x,y,z ∈ 3 : x2y2 z2 ≤ R2,x ≥ 0,y ≥ 0,z ≥ 0: Một phần tám hình cầu góc thứnhất tâmObán kính R.

g : 0,R0, 20, 2  →   x,y,z ∈ 3 : x2 y2 z2 ≤ R2,x ≥ 0,y ≥ 0,z ≥ 0 r,,  rsincos,rsinsin,rcos.

Chof ∈ ℒ,, khiđó hàm f∘g ∈ ℒ0,R0, 2 0, 2 , và ta có tích phân

fxdx đổi thành

fxdx  0,R0,

20,2f∘gr2sindr,,

 0R02 02 frsincos,rsinsin,rcosr2sindrdd.