ĐỔI BIẾN TÍCH PHÂN NHIỀU CHIỀU BẰNG PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH

w 12  22  3 2 Dođó, ta định nghĩa tích phân của hàm F trên mặt cong S như sau

4.2. ĐỔI BIẾN TÍCH PHÂN NHIỀU CHIỀU BẰNG PHÉP BIẾN ĐỔI TUYẾN TÍNH

Ký hiệuij để chỉsốKronecker, tức là

ij  1, i  j,

0, i ≠ j.

Xét vectơej  1j,2j,  ,mj,j  1,  ,m. Khiđóe1,e2,  ,emlà một hệ m

vectơnằm trênm đường thẳng vuông góc tùngđôi một với nhau của hệ trục tọađộ Descartes, chằng hạn như:

i/e1  1, 0,e2  0, 1 trong2,

ii/ e1  1, 0, 0,e2  0, 1, 0,e3  0, 0, 1trong3.

Xét m sốthực1,2,   ,m, tađặt aj  jej, vớij  1,  ,m. Khiđó khối hình hộp

PAtạo bởi cácđiểma1, a2,  ,am có thểtích là

VolPA  |1|   |m|.

Chú ý rằng ma trậnA  a1,  ,amlà ma trận chéo và các phần tửtrênđường chéođó chính là 1,  ,m. Dođóđịnh thức của Achính là1   m. Vậy, ta có

(1) |detA|  VolPA.

Vậy công thức (1)đúng cho một hệ trực giao {a1,  ,am} trongm . Xét một hệm

vectơ độc lập tuyến tính {a1,  ,am} trongm . Bằng quá trình trực giao hoá

Gram-Schmitt, ta chuyển hệ {a1,  ,am} thành một hệ mvectơtrực giao {b1,  ,bm} trongm như sau.

b1  a1,

bk  ak −k−1

i1

∑ 〈ak,bi

〈bi,bi bi, k  2,  ,m.

Như vậy, ta thấy rằng ma trậnA  a1,  ,am biến thành ma trậnB  b1,  ,bm

nhờ phép tính sơcấp trên cột: Thêm vào một cột bằng tổ hợp tuyến tính của các cột khác, dođó theo tính chất củađịnh thức thì detA  detB. Từcông thức tính thểtích,

ta cóVolPA  VolPB.

Do đó, ta có công thức (1)đúng cho mọi hệmvectơ độc lập tuyến tính {a1,  ,am} trongm.

Chú ý rằng nếu có một vectơai  0, thìVolPA  0và detA  0.

Bây giờchomvectơa1,  ,am trongm, vàTlà ánh xạtuyến tính liên kết với ma trận A  a1,  ,am. Cho vectơej  1j,2j,  ,mj,j  1,  ,m. Khiđó

e1,e2,  ,emlà một hệtrực chuẩn (cơsởtrực chuẩn) trongm và Tej  aj ∀

j  1,  ,m. Gọi PvàQ lần lượt là các hình hộp tạo bởie1,e2,  ,emvà a1,a2,  ,

am, ta cóTP  Qvà thểtích của P  1. Dođó ta có ThểtíchTP  |detA|thểtíchP.

Ta xét một song ánh tuyến tínhT :m →m có ma trận tương ứng làA. Cho E ⊂ m làE hội hữu hạn hoặcđếm được các khối vuôngPkrời nhau. Khiđó,

TE 

k

TPk và thể tích củaTPk |detA|(thểtíchPk). Suy ra (2) ThểtíchTE  |detA|thể tíchE.

Khi đó, ta có

Định lý 4.2.1.Cho một song ánh tuyến tínhT :m →m có ma trận tương ứng là

A. ChoU ⊂ mlà một tập mở vàf ∈ ℒV,, vớiV  TU. Khiđó hàm

x  fTx|detA|cũng thuộcℒU,và có

Vfd  Uf∘T|detA|d.