ĐO LEBESGUE TRÊN 

Định nghĩa 3.1.1. Gọiℱlà họtất cảcác phần hội của một sốhữu hạn của các tập có dạng:a,b,−,c, d,,−,, vớia,b, c,d ∈ . Khiđó ta có

Định lý 3.1.1.ℱ có các tính chất sau i , ∈ ℱ,

ii Nếu E ∈ ℱ, thì  E ∈ ℱ,

iii Nếu Ej ∈ ℱ,j  1, 2, . . . ,mthì jm1 Ej ∈ ℱ.

Chú ý:ℱ chưa phải là một −đại số.

Định nghĩa 3.1.2. ChoE ∈ℱ. KhiđóElà hội hữu hạn các tập rời nhau có dạng: a,b, −,c,d,, −,, vớia, b,c, d ∈ . Tađịnh nghĩađộ dài của Elà tổng các độdài các tập tươngứng trong phần hộiđó và ký hiệu làlE. Hiển nhiênlE ∈ 0,.

Định lý 3.1.2.l có các tính chất sau i l  0,

ii lE ≥ 0, ∀E ∈ ℱ,

iii nếuEj ∈ ℱ,j ∈ ℕ, Ei ∩Ej  ,∀i ≠ j, và nếuj1 Ej ∈ ℱ, thìlj1Ej

 ∑j1lEj.

Hướng dẫn chứng minhĐịnh lý 3.1.2. Khẳngđịnh (i), (ii) là hiển nhiênđúng. Ta chỉcần kiểm tra khẳngđịnh (iii): NếuEi có dạng−,c hoặcd,hoặc −,thì (iii) là hiển nhiênđúng. Ta chỉcần xétE  jm1aj,bj,đưa bài toán vềdạngE  , vàEj  j,j, tức là nếu, j1 j,j vàj,jrời nhau, ta cần chứng minh rằng −  ∑j1j −j. * Ta chú ý rằng jm1j,j ⊂ ,, dođó− ≥ ∑jm1 j −j. * Cho  0, 0    −. Khiđó, ⊂ j1 j −  2j ,j   2j.

[Mọi bao phủmở của một tập conđóng và bịchận của đều có bao phủcon hữu hạn∗ (Xem chú thích dướiđây: CHÚ THÍCH: GiảsửA ⊂ là tập conđóng và bị chận vàOjj∈J là một họcác tập mởtrongsao cho A ⊂ j∈J Oj. (Ta gọiOjj∈J là một phủmởcủa A). Khiđó tồn tại một tập con hữu hạn K ⊂ Jsao choA ⊂ j∈K Oj]

Khi đó, tồn tại một sốhữu hạn các khoảng mởjk − 

2jk ,jk  

2jk ,k  1, 2,  ,N,

, ⊂ kN1 jk −  2jk ,jk   2jk . Từ ta có −−  l, ⊂ l kN1jk −  2jk ,jk   2jk  ≤ ∑kN1l jk −  2jk ,jk   2jk   ∑kN1 jk −jk  2 2jk  ∑kN1 jk −jk2∑kN1 1 2jk ≤ ∑j1j −j2∑j1 1 2j  ∑j1j −j2. Do đó− ≤ ∑j1j −j3,∀ ∈ 0,−. Vậy− ≤ ∑j1j −j.

Ví dụ3.1.1. (Xem như bài tập). ChoAj ∈ ℱ,j ∈ ℕ, sao cho j1Aj ∈ ℱ. Chứng minh rằng lj1Aj ≤ ∑j1lAj.

Hướng dẫn: (Xem như bài tập).

Đặt E1  A1, E2  A2 A1,E3  A3 A1 A2,  ,Ek1  Ak1jk1 Aj. Dođó ta có

Ej ∈ ℱ, j ∈ ℕ,Ei ∩Ej  ,∀i ≠ j,j1 Ej  j1Aj ∈ ℱ. Dùngđịnh lý 3.1.2, tacó

lj1 Aj  lj1Ej  ∑j1lEj ≤ ∑j1lAj.

Định nghĩa 3.1.3. ChoE ⊂ , vàđặtAElà họcác dãyEj ⊂ ℱsao cho

E ⊂ j1 Ej.Đặt

l∗E  inf ∑j1lEj : Ej ∈ AE .

Định lý 3.1.3. ChoA,B ⊂ , ta có i l∗  0,

ii l∗E ≥ 0,∀E ⊂ ,

iii l∗A ≤ l∗B, nếu A ⊂ B,

iv l∗E  lE,∀E ∈ ℱ,

v Nếu Ej ⊂ , j  1, 2, . . . thì l∗j1Ej ≤ ∑j1l∗Ej.

Hướng dẫn chứng minhĐịnh lý 3.1.3. Khẳngđịnh (i), (ii), (iii) là hiển nhiên đúng. Ta chỉcần kiểm tra khẳngđịnh (iv), (v):

Kiểm tra khẳng định (iv): ChoE ∈ ℱ. TađặtE1  E,Ej  , ∀j ≥ 2. Ta có

Ej ∈ AE, dođó từ định nghĩa ta cól∗E ≤ lE. Ta chỉcần kiểm tra bất đẳng thức ngược lại. ChoFj ∈ AE, tađặt Aj  E∩Fj, ta cóE ⊂ j1 Fj  j1 Aj ∈ ℱ. Áp dụng 3.1.1, ta có

lE ≤ lj1 Aj ≤ ∑j1lAj ≤ ∑j1lFj. Từ định nghĩa ta cólE ≤ l∗E.

Kiểm tra khẳng định (v): Cho  0. Do

l∗Ej  inf ∑k1lFk : Fkk∈ℕ ∈ AEj . Nên với mỗij ∈ ℕ, ta cóFj,kk∈ℕ ∈ AEj, sao cho

∑k1lFj,k  l∗Ej  2j. Ta chú ý rằngEj ⊂ k1 Fj,k, dođój1 Ej ⊂ j1 k1 Fj,k.Điều nầy dẫn đến Fj,kj,k∈ℕ ∈ Aj1 Ej, dođó ta có l∗j1 Ej ≤ ∑j1∑k1lFj,k ≤ ∑j1 l∗Ej  2j  ∑j1l∗Ej. Màđiều nầyđúng với mọi  0, nên ta cól∗j1 Ej ≤ ∑j1l∗Ej.

Định nghĩa 3.1.4.ĐặtMlà họcác tậpE ⊂  có các tính chất sau ∗ l∗A  l∗A∩El∗AE,∀A ⊂ .

Chú ý 3.1.1. Dođịnh lý 3.1.3, ta có ∗  l∗A ≥ l∗A∩El∗AE, ∀A ⊂ . Định lý 3.1.4. i M là một−đại số. ii Nếu Ej ∈ M, j  1, 2, . . . , Ei ∩Ej  ,∀i ≠ j, thìl∗j1 Ej  ∑j1l∗Ej. Hướng dẫn chứng minhĐịnh lý 3.1.4. Kiểm tra khẳng định (i):M là một−đại số.???

(j) ∈ M. ??. Vìl∗A∩l∗A   l∗Al∗  l∗A,∀A ⊂ . (jj) E ∈ M, ∀E ∈ M. ???. Vì

l∗A∩ E l∗A E  l∗A∩Ecl∗AEc

 l∗AEl∗A∩E  l∗A,∀A ⊂ . (jjj) Trước hết ta kiểm tra∀E1,E2 ∈ M E1 E2 ∈ M.??? Vì∀A ⊂ , ta có

l∗A∩E1 E2 l∗A∩E1 E2C

 l∗A∩E1 E2∩E1l∗A∩E1E2∩E1Cl∗A∩E1 E2C

 l∗A∩E1l∗A∩E2∩E1Cl∗A∩E1C ∩E2C

 l∗A∩E1l∗A∩E1C  l∗A,∀A ⊂ . (4j) Trước hết ta kiểm tra∀E1,E2 ∈ M,E1 ∩E2  , thì

Chú ý rằng E1 ∩E2    E2 ⊂ E1C, ∀A ⊂ , ta có

l∗A∩E1 E2  l∗A∩E1 E2∩E1l∗A∩E1E2∩E1C

 l∗A∩E1l∗A∩E2 ∩EC1  l∗A∩E1l∗A∩E2. Lấy A  , ta cól∗E1 E2  l∗E1l∗E2.

Bằng qui nạp, ta có: NếuEj ∈ M,j  1, 2, . . . N, thìjN1Ej ∈ M. Hơn nữa nếu cácEj rời nhau thìl∗jN1 Ej  ∑jN1l∗Ej.

(5j) Bây giờxétEj ∈ M,j  1, 2, . . . ,Ei ∩Ej  ,∀i ≠ j, ta sẽ chứng minh rằng j1 Ej ∈ M, vàl∗j1 Ej  ∑j1l∗Ej.

Ta đặtE  j1 Ej vàFN  jN1Ej  FN−1 EN.

Chú ý rằng FN ⊂ E  EC ⊂ FNC, l∗A∩FNC ≥ l∗A∩EC ∀A ⊂ , ta có

l∗A  l∗A∩FNl∗A∩FNC  ∑jN1

l∗A∩Ejl∗A∩FNC ≥ ∑jN1l∗A∩Ejl∗A∩EC.

Do định lý 3.1.3, (v), ta có

∀A ⊂ , ta cól∗A ≥ ∑j1l∗A∩Ejl∗A∩EC ≥ l∗A∩El∗A∩EC. Từ chú ý 3.1.1, ta suy raE  j1 Ej ∈ M. Ta chọnA  E, khiđó

l∗E ≥ ∑j1l∗Ejvà cũng từ định lý 3.1.3, (v), ta cól∗E  ∑j1l∗Ej.

Định lý 3.1.5. ℱ ⊂ M.

Hướng dẫn chứng minhĐịnh lý 3.1.5.

ChoE ∈ ℱvà A ⊂ . Cho  0. Dol∗A  inf ∑k1lFk : Fkk∈ℕ ∈ AA , ta cóFkk∈ℕ ∈ AA, sao cho ∑k1lFk  l∗A. Do định lý 3.1.3, (v), ta có Ta chú ý rằngA ⊂ k1 Fk, dođó Chú ý rằng A∩E ⊂ k1 Fk ∩E, A∩Ec ⊂ k1Fk ∩Ec, ∀A ⊂ , ta có l∗A∩El∗A∩EC ≤ ∑k1l∗Fk ∩E∑k1l∗Fk ∩EC  ∑k1lFk ∩ElFk ∩EC  ∑k1lFk  l∗A. Từ chú ý 3.1.1, ta suy ra rằngE ∈ M.

Định nghĩa 3.1.5.Đặt A  l∗A,A ∈ M. Khiđó,M,là một không gianđo vàđộ đo dươnggọi là độ đo Lebesgue trên.

Định lý 3.1.6.

(i) ChoE ∈ MvàB ⊂  sao choB ⊂ Evà E  0. KhiđóB ∈ M. (ii) Mchứa tất cảcác tập mởvàđóng của .

(iii) Với mọiE ∈Mta có

E  inf G : E ⊂ G, Gmởtrong . (iv) Với mọiE ∈M ta có

E  sup K : K ⊂ E, Kcompact trong . (v) Với mọiE ∈M, vàa ∈ a ≠ 0, ta có

aE  E, aE  |a|E,

trongđóaE  ax : x ∈ Evà aE  ax : x ∈ E.

Hướng dẫn chứng minhĐịnh lý 3.1.6.

(i) ChoE ∈ MvàB ⊂  sao choB ⊂ Evà E  0. KhiđóB ∈ M.?? ChoA ⊂ tùy ý. DùngĐịnh lý 3.1.3.(iii):

A∩B ⊂ B ⊂ E  l∗E ≥ l∗A∩B,

AB ⊂ A  l∗A ≥ l∗AB. Vậy

l∗A  l∗El∗A ≥ l∗A∩Bl∗AB,∀A ⊂ . Do đóB ∈ M.

(ii) Mchứa tất cảcác tập mởvàđóng của . Ta chỉcần kiểm traa,b ∈ M. Chú ý rằng a,b  k1   a,b− b−a 2k . Do a,b− b−a 2k  ∈ ℱ ⊂ M. MàM là−đại sốnêna,b  k1   a,b− b−a 2k  ∈ M. (iii) Với mọiE ∈Mta cól∗E  inf l∗G : E ⊂ G,Gmởtrong .??

(iii1):∀Gmởtrong,E ⊂ G, ta cól∗E ≤ l∗G  l∗E ≤ inf l∗G : E ⊂ G,G mởtrong . (iii2): ∀  0,∃aj,bj : E ⊂ k1   aj,bjvà∑j1bj −aj  l∗E. Xét G  k1   aj,bj   2j ⊂ k1   aj,bj   2j , ta có l∗G ≤ ∑j1l∗ aj,bj   2j   ∑j1l∗ aj,bj   2j  ∑j1l aj,bj   2j   ∑j1bj −aj   2j  ∑j1bj −aj  l∗E2.

Vậy inf l∗G : E ⊂ G,G mởtrong ≤ l∗G  l∗E2. Do   0tuỳ ý nên

inf l∗G : E ⊂ G, Gmở trong ≤ l∗E. Vậy

inf l∗G : E ⊂ G, Gmở trong  l∗E.