6 Định lý ánh xạ ngược và Định lý ánh xạ ẩn
7.5Tôpô các đa tạp
Một trong những bài toán thú vị là bài toán phân loại đa tạp. Các kết quả đẹp đẽ sau đây được chứng minh:
Định lí 7.5.1 Mỗi đa tạp 1-chiều liên thông compắc đều vi phôi với[0,1]⊂
R1, hoặc vòng tròn S1. Các đa tạp không compắc thu được từ chúng bằng cách vứt bỏ một số điểm.
Định lí 7.5.2 Mỗi đa tạp 2-chiều compắc không biên liên thông đều vi phôi với một trong các mặt thu được bằng cách gắn k mặt trụ, xoắn mỗi mặt một số vòng và gắn l lá M¨obius , vào mặt cầu S2 được khoét đi 2k+l lỗ thủng. Các đa tạp không compắc thu được từ đó bằng cách bỏ đi một số điểm.
Một vấn đề của toán học đương thời: Có hay không một cách làm tương tự cho các đa tạp 3-chiều. Bằng cách làm tương tự như trên với hình cầu và hình trụ, người ta cũng thu được đủ nhiều đa tạp 3 chiềụ Nhưng rất tiếc là lý thuyết tôpô các đa tạp 3-chiều chỉ ra là lý thuyết còn xa mới tới một phân loại tương tự như trên.
7.6 Bài tập củng cố lý thuyết
1. Hãy viết tên của mình bằng các chữ cái IN HOA KHONG CHANkhông dấu. Có những chữ cái nào là đa tạp, đa tạp đóng, đa tạp có biên. 2. Mặt nón C : Pqi=1(xi)2 −Pqj=1(yj)2 = 0 trong Rp+q không là đa tạp
con. Vì sao?
3. Chứng minh rằng hình hộp đóng không là đa tạp con trong Rn. 4. Chứng minh rằng tích Tchikhonov của các đa tạp trơn, nói chung không
là đa tạp trơn.
5. Không gian {(x1, . . . , xn);xi ∈ R, xi 6= xj ;∀i 6= j} là một đa tạp tìm số chiều của nó. Tìm không gian tiếp xúc với nó tại một điểm.
6. Tìm không gian tiếp xúc với mặt cầu tại một điểm và không gian tiếp xúc với lá M¨obius tại một điểm.
7. Chứng minh rằng mặt trụ
n−1 X
i=1
(xi)2 = 1