6 Định lý ánh xạ ngược và Định lý ánh xạ ẩn
7.3.2 Không gian đối tiếp xúc Phân thớ đối tiếp xúc
Định nghĩa 7.3.5 Giả sử X là một đa tạp trơn, x∈X là một điểm tuỳ ý, TxX là không gian tiếp xúc với đa tạp tại điểm x. Chúng ta kí hiệu Tx∗X = HomR(TxX,R) là không gian đối ngẫu với không gian véctơ TxX và gọi là không gian đối tiếp xúc .
Nhận xét 7.3.6 Khái niệm không gian tiếp xúc không phụ thuộc vào việc chọn hệ toạ độ địa phương, tức là một khái niệm hình học. Do vậy không gian đối tiếp xúc cũng là một khái niệm hình học.
Nhận xét 7.3.7 Trong một lân cận toạ độ điạ phương của mỗi điểmx trên đa tạp, các không gian đối tiếp xúc là đẳng cấu với nhau và đẳng cấu tuyến tính với không gian Euclide n-chiều Rn.
Bởi thế nên chúng ta có đồng phôi
(ϕ, J acx(ϕ−1)∗) :W ×Rn −−−→≈ S
x∈UTx∗U như là các tập mở vi phôi trong R2n.
Mệnh đề 7.3.8 Không gian
T∗X = [
x∈X
Tx∗X có cấu trúc đa tạp trơn.
Chứng minh.Giả sử {(Uα, ϕα)}α∈I là tập bản đồ điạ phương, xác định cấu trúc đa tạp. Khi ta thay đổi hệ toạ độ điạ phương từ bản đồ (Uα, ϕα) sang bản đồ (Uβ, ϕβ), thì trên phần giao của chúng, ta có phép biến đổi trơn giữa các toạ độ theo công thức vi phân của hàm hợp.
Nhận xét 7.3.9 Phép chiếu tự nhiên từ T∗X lên X cho tương ứng mỗi véctơ đối tiếp xúc với điểm gốc của nó cho ta một ánh xạ trơn giữa các đa tạp p:T∗X →X
Định nghĩa 7.3.10 Bộ ba (T∗X, p, X) được gọi là phân thớ đối tiếp xúc với đa tạp X. Mỗi ánh xạ trơn ω:X →T∗X cho tương ứng với mỗi điểmx∈X một véctơ đối tiếp xúc ξ(x)∈TxX, tức là p◦s =IdX được gọi là một 1-dạng vi phân trơn trên đa tạp X.
Ví dụ. Giả sử điểm xcó toạ độ điạ phương là (x1, . . . , xn) Ta kí hiệudxi là cơ sở trong Tx∗X, đối ngẫu của cơ sở ∂x∂i trong TxX.
Chúng ta có quy tắc đổi biến theo vi phân cuả hàm hợp: dyj = ∂y
j
∂xidxi.