6 Định lý ánh xạ ngược và Định lý ánh xạ ẩn
7.3.1Không gian tiếp xúc Phân thớ tiếp xúc
Trong lân cận toạ độ của mỗi điểm x ∈ X trên đa tạp X, mọi không gian tiếp xúc TxX là đẳng cấu tuyến tính với nhau. Bởi thế nên ta có thể xây dựng một đồng phôi tự nhiên (ϕ, J ac(ϕ)) :W ×Rn→ ∪x∈UTxU như là các tập mở trong R2n. Mệnh đề 7.3.1 Không gian T X := [ x∈X TxX
có cấu trúc của một đa tạp trơn.
Chứng minh.Giả sử {(Uα, ϕα)}α∈I là tập bản đồ địa phương, xác định cấu trúc đa tạp. Khi ta thay đổi toạ độ điạ phương từ bản đồ (Uα, ϕα)sang bản đồ (Uβ, ϕβ), trên miền giao Uα ∩Uβ ta có phép biến đổi toạ độ trơn giữa các toạ độ theo công thức đạo ánh của ánh xạ hợp: (x, ξ(x))7→(y, η(y)), với y =ϕ−β1◦ϕα(x)và
η(y(x)) =J acx(ϕ−β1◦ϕα)(x)ξ(x).
Nhận xét 7.3.2 Phép chiếu tự nhiên từT X lênX cho tương ứng mỗi véctơ tiếp xúc với điểm gốc của nó cho ta một ánh xạ trơn giữa các đa tạpp:T X →
X
Định nghĩa 7.3.3 Bộ ba (T X, p, X) được gọi là phân thớ tiếp xúc với đa tạp X. Mỗi ánh xạ trơn s : X → T X cho tương ứng với mỗi điểm x ∈ X một véctơ tiếp xúc ξ(x) ∈ TxX, tức là p◦s = IdX được gọi là một trường véctơ trơn trên đa tạp X.
Ví dụ. Giả sử điểmx có toạ độ điạ phương là(x1, . . . , xn) Ta kí hiệu ∂x∂i là ảnh cuả véctơ ei = (0, . . . , 1
|{z} ith
, . . . ,0).
Chúng ta có quy tắc đổi biến theo đạo hàm cuả hàm hợp: ∂ ∂xi = ∂y j ∂xi ∂ ∂yj.
Nhận xét 7.3.4 Tại mỗi điểm cuả đa tạp, các trường véctơ ∂x∂i là ảnh đẳng cấu cuả cơ sở trực chuẩn ei, i = 1, n. Bởi vậy chúng độc lập tuyến tính, và một véctơ tiếp xúc bất kì được phân tích thành tổ hợp tuyến tính theo chúng. Dạng tổng quát của một trường véctơ viết trong toạ độ điạ phương là
ξ(x) = n X i=1 ξi(x) ∂ ∂xi.
Chúng ta kí hiệu không gian vétơ các trường véctơ trơn trên đa tạp X là V ect(X).