IV/ Cơ học lượng tử của R Feynman : 64
4/So sánh hai bức tranh cơ bản: (bức tranh Schrodinger và bức tranh
Một cách khác mơ tả sự phụ thuộc thời gian của vi hệ-được gọi là bức tranh Heisenberg- là xem trạng thái cĩ dạng:
ψH ≡U+( )t,t0ψS( )t . (12.3)
(chữ H và S ở các hàm sĩng và tốn tử chỉ rằng hàm sĩng và tốn tử được cho trong bức tranh Heisenberg hay Schrodinger ).
Từ (12.3) do tính Unita của U và do (12.1) ta cĩ : với hàm sĩng ψH =U+( ) ( )t,t0 U t,t0ψS( )t0 =ψS( )t0 và với các tốn tử : L LH U ( )t,t0 LSU ( )t,t0 S + ≡ → (12.4)
(Ma trận của Ls đồng dạng với ma trận LH ).
Như vậy trong bức tranh Heisenberg, các trạng thái là các vector cố định trong khơng gian Hilbert cịn các tốn tử động lực sẽ là các lượng biến đổi theo thời gian.
3/ Bức tranh tương tác :
Cách thứ ba-được gọi là bức tranh tương tác-là cách trung gian giữa hai bức tranh trên mà trong đĩ cả vector trạng thái lẫn các tốn tử động lực đều phụ thuộc thời gian. Bức tranh tương tác thường gắn liền với phương pháp nhiễu loạn trong đĩ cĩ sự phân chia Hamiltonien :
H = H0 + H1
trong đĩ: H là Hamiltonien tồn phần, H0 là Hamiltonien khơng tương tác, H1 là Hamiltonien nhiễu loạn.
4/ So sánh hai bức tranh cơ bản: (bức tranh Schrodinger và bức tranh Heisenberg ) . tranh Heisenberg ) .
a/ Hai bức tranh trên là tương đương nhau do viểc chuyển từ bức tranh này sang bức tranh kia được thực hiện nhờ phép biến đổi Unita, do đĩ phép biến đổi này hồn tồn khơng thay đổi các trị riêng của các tốn tử động lực. Do đĩ, các giá trị trung bình của các đại lượng động lực là bất biến.
b/ Về phương diện tính tốn bức tranh Schrodinger thuận tiện hơn do trong trường hợp này ta chỉ cần xác định một vector là vector trạng thái-một ma trận cột- nếu dùng một cơ sở xác định của khơng gian Hilbert các trạng thái. Cịn trong bức tranh Heisenberg ta phải tính tốn trên những ma trận biểu diễn của các tốn tử động lực để tìm các quy luật biến đổi của chúng theo thời gian. Các tính tốn này là khá phức tạp.
Tuy nhiên bức tranh Heisenberg cho ta thấy về mặt hình thức cĩ một sự tương đồng giữa cơ học lượng tử và cơ học kinh điển. (cụ thể là cơ học kinh điển trong hệ
hình thức Hamilton). Nĩi rõ hơn là cấu trúc tốn học của chúng đều là cấu trúc đại số Lie, do các giao hốn tử và các mĩc Poisson đều là các phần tử của đại số Lie.
§13 CÁC BIỂU DIỄN TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ
Trong cơ học lượng tử trạng thái của vi hạt được mơ tả bằng vector trạng thái – là vector trong khơng gian Hilbert. Nhưng ta biết rằng trong khơng gian Hilbert các trạng thái này chúng ta cĩ thể dùng các cơ sở khác nhau để xét bài tốn. Thơng thường người ta chọn các cơ sở này là các hàm riêng trực chuẩn của các tốn tử động lực. (các tốn tử Hecmitie). Nếu ta xem hàm sĩng là hàm ψ =ψ( )rr,t thì các tốn tử động lực cĩ dạng: [ ∇] − ≡ ∇ − ≡ ≡r P i L i r× rˆ ˆ ; ˆ h ; h r .
cách mơ tả này được gọi là biểu diễn tọa độ(của hàm sĩng và các tốn tử động lực).
Nếu hệ cơ sở trực chuẩn là hệ Ylm( )θ,ϕ - các hàm riêng của tốn tử momen xung lượng- thì cách mơ tả này của hàm sĩng và các tốn tử động lực được gọi là biểu diễn momen xung lượng.
Tương tự như thế nếu dùng cơ sở là hệ trực chuẩn của tốn tử xung lượng hay của tốn tử năng lượng ta sẽ cĩ biểu diễn xung lượng hay biểu diễn năng lượng tương ứng.
Tất nhiên, do các cơ sở là bình đẳng, nên tất cả các biểu diễn đều tương đương nhau. Vì vậy việc chọn biểu diễn này hay biểu diễn khác chỉ xuất phát từ bài tốn cụ thể cho thuận tiện việc tính tốn.
Hơn nữa về mặt tốn học khi chuyển cơ sở trực chuẩn sang một cơ sở trực chuẩn khác bằng một phép biến đổi Unita nào đĩ thì ma trận các tốn tử sẽ biến thành ma trận đồng dạng, các phép biến đổi khi đĩ được gọi là các phép biến đổi chính tắc. Mặt khác ta cũng biết rằng nếu cơ sở là một hệ hàm riêng tiêu chuẩn của tốn tử Fˆ nào đĩ thì ma trận biểu diễn của Fˆ trong cơ sở đĩ sẽ cĩ dạng chéo.