Ta xét hệ thức: ∆p ∆x≥h
x.
trong đĩ ∆x là độ bất định của tọa độ x, ∆px
là độ bất định của hình chiếu trên trục x của xung lượng của vi hạt. Như vậy nếu vi hạt được định xứ tại một điểm xác định x nào đĩ thì hình chiếu của xung lượng của vi hạt trên trục x cĩ độ bất định tùy ý. Nghĩa là vi hạt phải tan ra trên tồn trục x.
Điều này cĩ nghĩa là trong cơ học lượng tử vi hạt khơng thể cĩ đồng thời tọa độ xác định và giá trị hình chiếu xung lượng xác định trên trục đĩ. Điều này cho thấy trong cơ học lượng tử hồn tồn khơng cĩ khái niệm quỹ đạo. Đây là một hệ quả quan trọng của nguyên lý bất định.
Bây giờ ta xét hệ thức:
h
≥ ∆ ∆E. t
Với hệ thức này cĩ nhiều cách giải thích khác nhau vì ∆tkhơng phải là độ
bất định theo thời gian (vì thời gian là một tham số chứ khơng phải một biến động lực). Cụ thể là :
- Nếu hệ ở trạng thái kích thích trong khoảng thời gian ∆t thì khi đĩ hệ
khơng thể cĩ năng lượng xác định và độ bất định của năng lượng là:
t E
∆ ≥
∆ h
Tuy nhiên năng lượng cĩ độ bất định khơng cĩ nghĩa là năng lượng khơng được bảo tồn. Bởi vì nếu hệ ở trạng thái dừng thì năng lượng của hệ khơng đổi theo thời gian và khi đĩ ta cĩ thể đo năng lượng trong khoảng thời gian ∆t lâu tùy
ý. Nghĩa là nếu ∆t =∞ thì ∆E=0 là khơng cĩ sự sai lệch nào về trị số của năng lượng. Nhờ hệ thức h ≥ ∆ ∆E. t
ta cĩ thể suy ra thời gian sống của hạt vi mơ, cĩthể tưởng tượng ra những quá trình ảo để làm cơng cụ giải thích những hiện tượng mà khơng vi phạm định luật bảo tồn năng lượng .
Những điều cần lưu ý:
- Thứ nhất: hệ thức bất định nhấn mạnh một điều là: sự bất định trong thế giới vi mơ khơng phải là những sai số ngẫu nhiên của phép đo hay sự khơng hồn thiện của các thiết bị kỹ thuật mà xuất phát từ bản chất lưỡng sĩng hạt của hạt vi mơ hay nĩi cách khác việc khơng thể xác định đồng thời tọa độ và xung lượng là cĩ tính nguyên tắc.
- Thứ hai : Các đại lượng đặc trưng cho sĩng (λ và γ ) khơng phải là các đại
lượng định xứ được. Do đĩ xuất phát từ hệ thức De Broglie ta cĩ thể rút ra hệ thức bất định. Mặt khác chuyển động của hạt cĩ khối lượng m và vận tốc v liên đối với một sĩng cĩ bước sĩng tính theo cơng thức:
mv h
=
λ
trong đĩ λ là bước sĩng. Đặc trưng của sĩng là sự lan truyền vơ hạn trong
khơng gian cho nên bước sĩng là một hàm số của dạng sĩng chứ khơng phải là hàm số của một điểm của khơng gian. Cũng do hệ thức De Broglie thì vận tốc của hạt cũng khơng phải là hàm số của tọa độ của hạt. Nĩi tĩm lại vận tốc và tọa độ của hạt khơng thể đồng thời cĩ giá trị xác định. Hệ thức bất định là một hệ thức cơ bản nhất của cơ học lượng tử, một trong những hệ quả quan trọng nhất của giả thiết De - Broglie về tính lưỡng sĩng hạt của vi hạt.
- Thứ ba: Nhìn các hệ thức bất định ta thấy cấu trúc của chúng phải như thế nào để trong mọi hệ thức gồm hai đại lượng liên hợp chính tắc với nhau theo ý nghĩa cổ điển. Do đĩ ta cĩ thể suy ra rằng đối với các cặp đại lượng chính tắc thì các hệ thức tương tự vẫn đúng. Về phương diện lý thuyết tương đối các hệ thức bất định Heisenberg cĩ tính chất đối xứng: cụ thể là ba thành phần của xung lượng và năng lượng (px,py,pz,E)
tạo thành một vector 4 chiều, cịn ba tọa độ và thời gian (x,y,z,t) tạo thành một vector khác