Trong mục này chũng tôi sẽ định nghĩa một hệ đầy đủ các bất biến của nhóm con mờ à của G, với à là tổng trực tiếp của các nhóm con mờ có giá là cyclic. Các bất biến này là xác định duy nhất bởi nhóm con mờ à.
Với x ∈ G, kí hiệu o(x) là cấp của x. Giả sử à là một nhóm con mờ của
G. Đặt S(à) ={xa|x ∈ à∗, à(x) = a} và
F S(à) ={χ|χ ∈ F P(G), χ ⊆ à}.
Định nghĩa 3.7. Cho à là một nhóm con mờ của G và χ ∈ F S(à). Khi đó
χ (hoặc S(χ)) được gọi là tập sinh cực tiểu của à nếu
à = hχi ∪0à(0) và hχ−xai ∪0à(0) ⊂ hχi,∀xa ∈ S(χ). Trong đó
(χ−xa)(y) =
(χ)(y) nếu y 6= x
0 trong trường hợp còn lại.
Mệnh đề 3.16 ([12]). Cho à ∈ F(G). Giả sử à∗ = hxi = hyi và ∀u ∈ à(G), gọi nu, mu là các số nguyên dương bé nhất sao cho àu = hnuxi = hmuyi. Khi đó nu = mu,∀u∈ à(G).
Chứng minh. Vì hxi = hyi nên tồn tại q1, q2 ∈ Z sao cho x = q1y, y = q2x. Xét hai trường hợp sau:
+ Nếu à∗ có cấp vô hạn: vì x = q1y = q1q2x nên q1 = q2 = ±1. Do đó
nu = mu,∀u ∈ à(G).
+ Nếu à∗ có cấp hữu hạn bằng q thì q1 và q là các số nguyên tố cùng nhau. Ta có hnuyi = hnuq1yi = hnuxi. Tương tự, ta cũng có hmuxi = hmuyi. Vì
nu, mu là các số nguyên dương bé nhất sao cho àu = hnuxi = hmuyi nên
nu = mu,∀u ∈ à(G).
Cho àlà một nhóm con mờ của G và x ∈ à∗. Tập con mờ àx của G được định nghĩa như sau: ∀x ∈ G,
àx(z) =
à(z) nếu z ∈ hxi
0 trong trường hợp còn lại. Khi đó àx là một nhóm con mờ của G và (àx)∗ = hxi. Đặt
Ix = {nu|u ∈ àx(G)\ {0}, nu là số nguyên dương bé nhất sao cho
(àx)u = hnuxi}.
Giả sử à∗ = ⊕j∈Jhxji. Kí hiệu Ià là cặp (∪j∈J{(Ixj, o(xj))}, à(G)\ {0}). Trong phần còn lại của mục này ta kí hiệu G0 là một nhóm Abel.
Bổ đề 3.4 ([12]). Cho à là một nhóm con mờ của G và ν là một nhóm con mờ của G0. Giả sử à∗ = hxi và ν∗ = hyi. Khi đó Ià = Iν nếu và chỉ nếu tồn tại đẳng cấu f từ à∗ lên ν∗ sao cho f(à) = ν trên ν∗. Nếu Ià = Iν thì mọi đẳng cấu f từ à∗ lên ν∗ đều thỏa mãn f(à) =ν trên ν∗.
Chứng minh. Giả sử Ià = Iν. Tức là
(∪j∈J{(Ixi, o(xj))}, à(G)\ {0}) = (∪k∈K{(Ixk, o(xk))}, ν(G0)\ {0}).
Khi đó à∗ ' ν∗ với đẳng cấu f nào đó. Ta chọn f sao cho f(x) =y. Khi đó với mọi u ∈ à(G) thì f(nux) = nuf(x) = nuy.
Vì à(G)\ {0} = ν(G0)\ {0} nên f(àu) =νu,∀u ∈ à(G)\ {0} (do àu = hnuxi
f(à)(f(z)) = ∨{à(w)|w ∈ G, f(w) =f(z)} = à(z).
Giả sử à(z) = u. Khi đó z ∈ àu nên f(z) ∈ f(àu) = νu hay ν(f(z)) ≥ u. Hơn nữa ν(f(z)) = u. Thật vậy, nếu ν(f(z)) = w > u thì f(z) ∈ νw = f(àw)
nên z ∈ àw hay à(z) ≥ w > u (mâu thuẫn với à(z) = u). Do đó à(z) = u =
ν(f(z)) hay f(à)(f(z)) = ν(f(z)). Vậy f(à) = ν trên ν∗.
Đảo lại, giả sử tồn tại đẳng cấu f từ à∗ lên ν∗ sao cho f(à) = ν trên ν∗. Khi đó, với mọi z ∈ à∗, tương tự chứng minh ở trên ta có
ν(f(z)) = f(à)(f(z)) =à(z).
Do đó à(G)\ {0} = ν(G0)\ {0}. Rõ ràng o(x) =o(y).
Ngoài ra, ∀u ∈ à(G), nu là số nguyên dương bé nhất sao cho(àx)u = hnuxi
nếu và chỉ nếu nu là số nguyên dương bé nhất sao cho (νy)u = hnuyi. Thật vậy, giả sử nu là số nguyên dương bé nhất sao cho (àx)u = hnuxi. Khi đó, nếu z ∈ (νy)u thì z ∈ νu = f(àu) nên z = f(s), với s ∈ àu nào đó. Vì
f−1(z) = s ∈ àu nên à(f−1(z)) ≥ u >0. Suy ra à(f−1(z)) = àx(f−1(z)) ≥ u
(theo định nghĩa của àx). Do đó f−1(z) ∈ (àx)u = hnuxi. Nghĩa là tồn tại
m ∈ Z sao cho f−1(z) = m(nux). Suy ra
z = f(m(nux)) =m(f(nux)) =m(nuy) ∈ hnuyi. Do đó (νy)u ⊆ hnuyi.
Đảo lại, nếu z ∈ hnuyi thì z = m(nuy), m ∈ Z. Suy ra
ν(z) =ν(m(nuy)) ≥ ν(nuy) =ν(f(nux)) = à(nux).
Mà nux ∈ hnuxi nên nux ∈ (àx)u. Suy ra à(nux) = àx(nux) ≥ u. Suy ra ν(z) ≥ à(nux) ≥ u > 0. Do đó ν(z) = νy(z) ≥ u hay z ∈ (νy)u. Suy ra
(νy)u ⊇ hnuyi. Vậy (νy)u = hnuyi.
Hơn nữa nu là số nguyên dương bé nhất sao cho (νy)u = hnuyi. Thật vậy, giả sử (νy)u = hmuyi, mu ≤ nu. Vì f là đẳng cấu từ à∗ lên ν∗ nên f−1 là đẳng cấu từ ν∗ lên à∗. Khi đó f−1(νu) = àu,∀u ∈ ν(G0)\ {0}. Chứng minh hoàn toàn tương tự trên ta có (àx)u = hmuxi. Mà nu là số nguyên dương bé nhất sao cho (àx)u = hnuxi nên mu = nu. Vậy Ix ⊆ Iy. Thay đổi vai trò của
x và y, à và ν, f−1 và f ta cũng có Iy ⊆ Ix. Vậy Ix = Iy. Từ đây ta suy ra
Ià = Iν.
Với đẳng cấu f tùy ý từ à∗ lên ν∗, trong đó Ià = Iν, thì f(à) = ν và chứng minh là tương tự như trên.
Cho à và ν lần lượt là các nhóm con mờ của G và G0. Giả sử
à∗ = ⊕j∈Jhxji và ν∗ = ⊕j∈Jhyji. Theo Định lí 3.1, với mọi j ∈ J,
àxj = h{(nujxj)uj|uj ∈ àxj(G)\ {0}i
và νyj = h{(mvjyj)vj|vj ∈ νyj(G0)\ {0}i. Với mọi j ∈ J, đặt àj = àxj.
Hai kết quả tiếp sau đây chỉ ra rằng Ià là một hệ đầy đủ các bất biến của à khi à là một tổng trực tiếp của của các nhóm con mờ có giá cyclic và các phần tử xj ở dưới đây có cấp vô hạn hoặc bằng các lũy thừa của các số
nguyên tố. Không mất tính tổng quát, ta sử dụng cùng một tập chỉ số J cho cả hai nhóm con mờ à và ν.
Mệnh đề 3.17 ([12]). Cho à và ν lần lượt là các nhóm con mờ của G và G0. Giả sử à= ⊕j∈Jàj và ν = ⊕j∈Jνj, trong đó à∗ = ⊕j∈Jhxji và ν∗ = ⊕j∈Jhyji. Nếu Ià = Iν thì tồn tại một đẳng cấu f từ à∗ lên ν∗ sao cho f(à) = ν.
Chứng minh. Theo Bổ đề 3.4, với mỗi j ∈ J, tồn tại đẳng cấu fj từ hxji
lên hyji (giả sử xj và yj đã được sắp xếp phù hợp) sao cho fj(xj) = yj và
fj(àj) = νj.
Đặt f = ⊕j∈Jfj. Khi đó f là một đẳng cấu từ à∗ lên ν∗. Ta có
f(à)(P jmjyj) = f(à)(P jmjf(xj)) =f(à)(f(P jmjxj)) = à(P jmjxj). Ta cũng có à(P j mjxj) = (⊕j∈Jàj)(P jmjxj) = ∧{àj(mjxj)|j ∈ J} (vì
à∗ là một tổng trực tiếp). Với mỗi j ∈ J, đặt àj(mjxj) = wj thì wj = à(0)
nếu mj = 0 và thỏa mãn mjxj ∈ (àj)wj = hnwjxji. Hơn nữa, ∀uj ∈ àj(G),
uj > wj thì mjxj ∈ h/ nujxji (vì nếu mjxj ∈ hnujxji thì mjxj ∈ (àj)uj hay
wj = àj(mjxj) ≥ uj (mâu thuẫn)). Do đó
à(P
jmjxj) = ∧{àj(mjxj)|j ∈ J} = ∧{wj|wj ∈ àj(G)\ {0}, j ∈ J}, trong đó wj = à(0) nếu mj = 0 và wj thỏa mãn
mjxj ∈ hnwjxji \ hnujxji ∀uj ∈ àj(G) sao cho uj > wj, nwj, nuj ∈ Ixj.
Với nwj, nuj ∈ Iyj thì mjyj ∈ hnwjyji \ hnujyji,∀uj ∈ νj(G0) sao cho
uj > wj. Suy ra ν(P j∈J mjyj) = ∧{wj|wj ∈ Im(νj)\ {0}, j ∈ J}. Do đó à(P jmjxj) = ν(P j∈J mjyj). Vậy f(à) = ν (vì Im(àj)\ {0} = Im(νj)\ {0}).
Mệnh đề 3.18 ([12]). Cho à và ν lần lượt là các nhóm con mờ của G và G0. Giả sử f là một đẳng cấu từ à∗ lên ν∗ sao cho f(à) = ν. Nếu à∗ = ⊕j∈Jhxji
thì ν∗ = ⊕j∈Jhf(xj)i, Ià = Iν và f(P j∈J àj) = P j∈J νj. Chứng minh. Rõ ràngν∗ = ⊕j∈Jhf(xj)i, f(àj) =νj vào(xj) = o(yj),∀j ∈ J. Theo Bổ đề 3.4, Ixj = If(xj),∀j ∈ J. Ta có ν(P jmjf(xj)) = f(à)(f(P j mjxj) =à(P jmjxj). Suy ra à(G)\ {0}= ν(G)\ {0}. Do đó Ià = Iν. Hơn nữa
(f(Pjàj))(Pjmjf(xj)) = (f(Pjàj))(f(Pjmjxj)) = (P j àj)(P jmjxj) = ∧{àj(mjxj)|j ∈ J} (vì à∗ là một tổng trực tiếp) = ∧{f(àj)(f((mjxj))|j ∈ J} = ∧{νj(mjf(xj))|j ∈ J} = (P j νj)(P mjf(xj)). Do đó f(P jàj) =P jνj.
Định nghĩa 3.8. Cho à là một nhóm con mờ của G, γ ∈ F(à) và xa ⊆ à. Khi đó tập con mờ xa+ γ được gọi là lớp kề mờ trái của γ trong à với đại diện xa.
Nhận xét 3.4. Sử dụng định nghĩa tổng của hai tập con mờ dễ dàng có được kết quả: ∀z ∈ G, (xa+ν)(z) = a∧ ν(z−x). Thật vậy, (xa+ν)(z) = ∨{xa(y1)∧ν(y2)|y1 +y2 = z} = xa(x)∧ν(z −x)( vì z = x+ (z −x)) = a∧ν(z−x). Hơn nữa, ∀a ∈ [0, à(0)], (à/ν)(a) = {xa+ ν|xa ⊆ à, x ∈ G}
là một nhóm giao hoán với phép toán cộng xác định bởi
(xa+ν) + (ya+ν) = (x+y)a +ν.
(Phần tử đối của xa+ν là (−x)a+ν và phần tử không là 0a +ν).
Mệnh đề 3.19 ([12]). Cho à là một nhóm con mờ của G và γ ∈ F(à). Đặt
à/ν = {xa +ν|xa ⊆ à, x ∈ G, a ∈ [0,1]}.
Khi đó (à/ν,+) là một vị nhóm cộng giao hoán. Nếu ν(0) = à(0) thì
à/ν = ∪
a∈M(à/ν)(a)
với M = [0, à(0)].
Chứng minh. Rõ ràng (à/ν,+) là một vị nhóm với phép cộng
(xa+γ) + (yb+γ) = (xa+yb) +γ = (x+y)a∧b+γ,∀xa+γ, yb+γ ∈ à/ν. Phần tử không là 00+γ. Hơn nữa phép cộng có tính giao hoán vì G là nhóm giao hoán. Vậy (à/ν,+) là một vị nhóm cộng giao hoán.
Tiếp theo ta chứng tỏ à/ν = ∪
a∈M(à/ν)(a) với ν(0) = à(0). Thật vậy, rõ ràng à/ν ⊇ ∪
a∈M(à/ν)(a). Đảo lại, giả sử xa0+γ ∈ à/ν nhưng
xa0 +ν /∈ ∪
a∈M(à/ν)(a), tức là a0 > à(0). Khi đó
(xa0 + γ)(x) = a0 ∧γ(x−x) = a0 ∧ν(0) = ν(0) = à(0) ≥à(x),∀x ∈ G. Nếu (xa0+γ)(x) > à(x) thì mâu thuẫn với xa0+ν ⊆ à (vì ν ⊆ àvà xa0 ⊆ à). Nếu (xa0 +γ)(x) =à(x), vì
(xa0 +γ)(x) = a0 ∧ν(0) = ν(0) = à(0),∀x ∈ G.
Nên à(x) = (xa0 + ν)(x) = à(0),∀x ∈ G (vô lý). Do đó a0 ≤ à(0) hay
xa0 +γ ∈ ∪
a∈M(à/ν)(a).
Vậy à/ν = ∪
a∈M(à/ν)(a).
Mệnh đề 3.20 ([12]). Cho à là một nhóm con mờ của G và γ ∈ F(à). Khi đó
(à/γ)(a) 'àa/γa,∀a ∈ [0, à(0)].
Chứng minh. Xét tương ứng f : àa → (à/ν)(a), x 7→ xa + ν. Dễ thấy f
là một đồng cấu nhóm. Mặt khác, ∀xa + ν ∈ (à/ν)a, rõ ràng x ∈ àa và
f(x) = xa+ ν. Do đó f là một toàn cấu nhóm. Hơn nữa
Kerf = {x ∈ àa|xa ⊆ ν} = {x ∈ àa|x ∈ νa}= νa. Theo định lí đồng cấu nhóm, àa/νa ' (à/ν)(a).
f(xa)(f(x)) = ∨{xa(y)|f(y) =f(x)} = xa(x) = a = f(x)a(f(x))
(vì với y 6= x thì xa(y) = 0).
Nếuf(z) 6= f(x)thìf(xa)(f(z)) = ∨{xa(y)|f(y) =f(z)} = 0 = f(x)a(f(z)). Nếu y ∈ G0 \f(G) thì f(xa) = 0 theo định nghĩa.
Vậy f(xa) =f(x)a.
Giả sử à, ν ∈ F(G), γ ∈ F(à), δ ∈ F(ν) và f là một đẳng cấu từ γ∗ lên
δ∗ sao cho f(γ) = δ. Khi đó
(f(xa+γ))(f(z)) = ∨{(xa+γ)(y)|f(y) =f(z)} = (xa+γ)(z) (vì f là đẳng cấu)
= a∧ γ(−x+z) = a∧δ(f(−x+ z)) = a∧δ(−f(x) +f(z)) = (f(x)a+δ)(f(z)).
Do đó (f(xa +γ))(f(z)) = (xa+ γ)(z) = (f(x)a+δ)(f(z)).
Các kết quả trên liên quan với kết quả 3) trong mệnh đề sau đây:
Mệnh đề 3.21 ([12]). Cho à và ν là các nhóm con mờ của G, γ ∈ F(à) và
δ ∈ F(ν). Giả sử
à∗ = γ∗ = ⊕j∈Jhxji,
ν∗ = δ∗ = ⊕j∈Jhyji,
γ = ⊕j∈Jhàji và δ = ⊕j∈Jhνji.
Ngoài ra Iγ = Iδ. Khi đó tồn tại đẳng cấuf từγ∗ lênδ∗ sao cho f(xj) =yj,
∀j ∈ J và f(γ) =δ. Đồng thời các điều kiện sau là tương đương:
1) f(à) =ν;
2) ∀a ∈ [0, à(0)], xa ⊆à nếu và chỉ nếu f(x)a ⊆ν;
3) ∀a ∈ (0, à(0)], fa được định nghĩa bởi fa(xa + γ) = f(x)a + δ, là một đẳng cấu từ (à/γ)(a) lên (ν/δ)(a).
Chứng minh. Theo Mệnh đề 3.17, đẳng cấu f như trên là luôn tồn tại. Ta sẽ chứng minh các mệnh đề tương đương.
1)⇐⇒ 2). Nếu 1) thỏa mãn thì kéo theo 2) thỏa mãn. Đảo lại, giả sử có 2). Vì xà(x) ⊆ à nên f(x)à(x) ⊆ ν và vì f(x)ν(f(x)) ⊆ ν nên xν(f(x)) ⊆ à (theo giả thiết). Nếu à(x) = a thì xa ⊆ à kéo theo f(x)a ⊆ ν hay ν(f(x)) ≥a. Tương tự, ν(f(x)) = b kéo theo à(x) ≥ b. Do đó à(x) = ν(f(x)). Vì f là đẳng cấu nên ∀y ∈ G0, giả sử y = f(x), x ∈ G, ta có ν(y) = ν(f(x)) =à(x) = f(à)(y). Vậy ν = f(à). 2)⇐⇒ 3). Giả sử có 2). Ta có xa +γ = ya +γ ⇐⇒ (−y +x)a ⊆ γ ⇐⇒ f(−y +x)a ⊆f(γ) ⇐⇒ (−f(y) +f(x))a ⊆f(γ) ⇐⇒ f(x)a +f(γ) =f(y)a +f(γ) ⇐⇒ f(x)a+δ = f(y)a+δ ⇐⇒ fa(xa +γ) = fa(ya+ γ).
Do đó fa là đơn ánh. Với ya +δ ∈ (ν/δ)(a), y ∈ δ∗, ya ⊆ ν thì tồn tại x ∈ γ∗
sao choxa ⊆àvà f(x) =y. Ta cóya+δ = f(x)a+δ. Khi đóxa+γ ∈ (à/γ)(a)
và fa(xa +γ) =f(x)a +δ = ya+δ. Do đó fa là ánh xạ lên.
fa((xa+γ)+(ya+γ)) = fa((x+y)a+γ) = f(x+y)a+δ = (f(x)+f(y))a+δ
= (f(x)a+δ) + (f(y)a+ δ) =fa(xa +γ) +fa(ya+γ).
Vậy fa là một đẳng cấu.
Đảo lại, giả sử có 3). Khi đó fa ∈ f(à), fa có miền xác định (à/γ)(a)
và ảnh (ν/δ)(a). Do đó 2) thỏa mãn (vì xa ⊆ à ⇔ xa + ν ∈ (à/ν)(a) ⇔f(x)a +δ ∈ (ν/δ)(a) ⇔ f(x)a ⊆ν).
Bây giờ ta xét một ví dụ để minh họa cho Mệnh đề 3.21.
Ví dụ 3.3. Cho G = hxi ⊕ hyi, trong đó o(x) = p và o(y) = p3, với p là một số nguyên tố. Đặt H = hx+pyi. Một tập con mờ à của G được định nghĩa bởi: ∀z ∈ G,
à(z) =
1 nếu z ∈ H
1/2 trong trường hợp còn lại.
Khi đó à là một nhóm con mờ của G. Các nhóm con mờ àx, ày được định nghĩa như sau, ∀z ∈ G,
àx(z) = 1 nếu z = 0 1/2 nếu z ∈ hxi \ {0}
0 trong các trường hợp còn lại.
ày(z) = 1 nếu z ∈ hp2yi 1/2 nếu z ∈ hyi \ hp2yi
0 trong các trường hợp còn lại. Ta có (àx)∗ = hxi và (ày)∗ = hyi nên
(àx)∗ + (ày)∗ = hxi+hyi = hxi ⊕ hyi = (àx)∗ ⊕(ày)∗. Theo Định lí 1.1 suy ra àx+ày = àx⊕ày.
Đặt ν = γ = δ = àx⊕ày. Khi đó à∗ = ν∗ = γ∗ = δ∗ = G. Rõ ràng Iγ = Iδ
nên theo Mệnh đề3.21, tồn tại một đẳng cấu f từ γ∗ lên δ∗ sao cho f(γ) = δ. Tuy nhiên, (x+ py)1 ⊆ à nhưng f(x+ py)1 * ν. Hơn nữa f(H) ⊆ hp2yi. Do đó f(H) có cấp ≤ p (vì hp2yi có cấp bằng p). theo Mệnh đề 3.21, suy ra
f(à) 6= ν. Và thực sự không tồn tại bất kì đẳng cấu nào từ à∗ lên ν∗ sao cho
Kết luận
Nhóm tự do, sự thể hiện nhóm và nhóm Abel là những chủ đề quan trọng của lý thuyết nhóm. Tương ứng với những chủ đề này, trong lý thuyết nhóm mờ cũng có nhóm con mờ tự do, sự thể hiện nhóm con mờ và nhóm con mờ của nhóm Abel. Đây cũng là những nội dung chính mà chúng tôi trình bày trong luận văn này.
Trong Chương 1 của luận văn, chúng tôi trình bày hệ thống các khái niệm, tính chất cơ bản của tập con mờ và nhóm con mờ. Các khái niệm, tính chất này có thể xem như những công cụ thiết yếu để nghiên cứu lý thuyết nhóm mờ.
Trong Chương 2, sau khi trình bày lại một số ý tưởng cơ bản liên quan đến cấu trúc của nhóm tự do, chúng tôi trình bày cách xây dựng nhóm con mờ tự do và trình bày một kết quả quan trọng, đó là “mọi nhóm con mờ đều là ảnh đồng cấu của một nhóm con mờ tự do” (Định lí 2.3). Từ khái niệm họ tập sinh của một nhóm con mờ ν của nhóm G và khái niệm nhóm con mờ thương chúng tôi tiến đến việc xác định một họ {Xi|i ∈ J} các tập hợp kí hiệu và một toàn cấu h : F(X) → G, với F(X) là nhóm tự do sinh bởi
X = ∪i∈JXi và đi đến kết luận có thể xác định ν (sai khác đẳng cấu) thông qua việc xác định họ {Xi|i ∈ J} và Ker(h), từ đó có được sự thể hiện của nhóm con mờ ν. Trong Chương 2, chúng tôi cũng nêu ra các khái niệm tập mờ, nhóm mờ, hàm mờ, nhóm mờ tự do trên một tập mờ. Và chúng tôi đã tự chứng minh được mệnh đề chỉ ra điều kiện để hai nhóm mờ tự do là đẳng cấu (Mệnh đề 2.4). Đặc biệt, với một tập mờ tùy ý, luôn tồn tại một nhóm mờ tự do trên nó và mọi nhóm mờ đều là ảnh đồng cấu của một nhóm mờ tự do, điều này được chúng tôi trình bày ở phần cuối của Chương 2.
Những vấn đề liên quan đến nhóm con mờ của nhóm Abel được chúng tôi trình bày ở Chương 3 của luận văn. Trong phần đầu của chương, chúng tôi trình bày điều kiện để một nhóm con mờ có thể phân tích được thành tổng trực tiếp yếu của các nhóm con mờ, hơn nữa là các nhóm con mờ có giá là cyclic (Mệnh đề 3.2, 3.3) và xác định nhóm con mờ sinh bởi một tập con mờ cho trước (Mệnh đề 3.4). Chúng tôi cũng chỉ ra điều kiện để một nhóm con mờ có một tập sinh cực tiểu và xác đinh tập sinh cực tiểu đó (Định lí 3.1). Đặc biệt, khi à∗ là một tổng trực tiếp của các nhóm cyclic thì điều kiện để à có một tập sinh cực tiểu tương đương với điều kiện để à là một tổng trực tiếp yếu của các nhóm con mờ có giá là cyclic (Mệnh đề 3.5). Và với S là một hệ tùy ý các điểm mờ trong à ∈ F(G), điều kiện cần và đủ để nhóm con mờ của G sinh bởi S là một tổng trực tiếp của các nhóm con mờ của G có giá là cyclic đó là S phải là hệ độc lập trong à (Định lí 3.2). Tiếp theo, chúng tôi trình bày định nghĩa của khái niệm nhóm con mờ chia được, nhóm con mờ thuần túy và một số kết quả liên quan. Trong đó có một kết
quả thú vị về nhóm con mờ chia được cho trường hợp cụ thể khi nhóm G là nhóm cộng các số hữu tỉ Q, đó là “điều kiện cần và đủ để à ∈ F(Q) là chia