Khái niệm thương là cần thiết để định nghĩa một sự thể hiện. Vì vậy, trước hết chúng tôi nhắc lại khái niệm nhóm con mờ thương (xem Mệnh đề 1.14 và Định nghĩa 1.14) với sự thay đổi về kí hiệu để thuận tiện cho việc trình bày. Trong mục này, chúng tôi luôn kí hiệu G là một nhóm.
Cho à là một nhóm con mờ của G và N là một nhóm con chuẩn tắc của
G. Ta định nghĩa tập con mờ àN của G/N như sau: ∀xN ∈ G/N,
àN(xN) = ∨{à(y)|y ∈ xN}.
Khi đó àN là một nhóm con mờ của G/N. Ta gọi àN là thương của à bởi
N.
Cho ν là một nhóm con mờ của G có tập sinh là {Bi|i ∈ J}. Khi đó tồn tại một họ {Xi|i ∈ J} gồm các tập hợp kí hiệu và một họ gồm các hàm
{mi : Xi −→ Bi} sao cho 1) và 2) của Định lí 2.4 được thỏa mãn. Giả sử
X = ∪i∈JXi và h : F(X) −→ G là một toàn cấu thỏa mãn 3) và 4) của Định lí 2.4. Đặtà = f((Xi)i∈J), N = Ker(h). Khi đó ta có nhóm thươngàN của à
bởiN. Ta định nghĩa ψ : F(X)/N −→Gnhư sau,∀y ∈ F(X), ψ([y]) = h(y). Rõ ràng ψ là một đẳng cấu (do h là một toàn cấu và Ker(ψ) = N). Với
z ∈ G,
ψ(àN)(z) =∨{àN(u)|ψ(u) =z} = ∨{à(w)|w ∈ u, ψ(u) =z} = ∨{à(w)|ψ([w]) = z} = h(à)(z).
Do h(à) =ν (Định lí 2.4) nên suy ra àN và ν là đẳng cấu.
Từ những điều trên, ta thấy rằng để xác định nhóm con mờ ν của G (sai khác đẳng cấu), ta chỉ cần xác định một họ {Xi|i ∈ J} các tập hợp kí hiệu với mỗi Xi là tương ứng một đối một với Bi (họ {Bi|i ∈ J} là một tập sinh nào đó của ν) và nhóm con N = Ker(h) của F(X), trong đó X = ∪i∈JXi.
N có thể được xác định bởi tập con S của N theo nghĩa N là nhóm con chuẩn tắc nhỏ nhất sinh bởi S. Mỗi phần tử eS của S có thể xác định rõ bằng cách chọn chữ rút gọn trong eS là đại biểu của nó. Giả sử R là tập hợp gồm tất cả các chữ rút gọn này. Khi đó ν hoàn toàn được xác định bởi cặp
h{Xi|i ∈ J}, Ri. Cặp h{Xi|i ∈ J}, Ri được gọi là một thể hiện của ν. Họ
{Xi|i ∈ J} được gọi là họ sinh và R được gọi là tập các quan hệ của ν tương ứng với {Xi|i ∈ J}.
Vì miền xác định của àN là F(X)/N, đẳng cấu với miền xác định G của
ν nên sự thể hiện của nhóm con mờ ν của G cho ta một sự thể hiện của miền xác định của ν. Hơn nữa, hai thể hiện có cùng quan hệ.
Bây giờ ta xét các ví dụ minh họa cho định nghĩa và các định lí chính. Ví dụ 2.1. Xét nhóm cộng các số nguyên môđulô 12,Z12. Một nhóm con mờ
ρ của Z12 được định nghĩa như sau: ∀x ∈ Z12, ρ(x) = 1 nếu x = 0 hoặc x = 6, 1/2 nếu x = 3 hoặc x = 9,
1/3 trong các trường hợp còn lại .
Để xác định một sự thể hiện của ρ ta xây dựng tập sinh {Bi|i ∈ J}, trong đó J = {1,1/2,1/3} và họ {Xi|i ∈ J} như trong Định lí 2.4:
B1 = {01,61}, B1/2 = {31/2}, B1/3 = {11/3}
X1 = {z, s}, X1/2 = {t}, X1/3 = {u}
ở đây z, s, t, u lần lượt đại diện cho 0,6,3,1. Rõ ràng họ {B1, B1/2, B1/3} là hệ sinh của ρ (Nhận xét 2.1). Với mỗi i ∈ J dễ thấy mi : Xi −→ Bi là một song ánh. Cụ thể
m1(z) = 01, m1(s) = 61, m1/2(t) = 31/2, m1/3(u) = 11/3.
Giả sử F(X) là nhóm tự do trên X = ∪i∈JXi = {z, s, t, u}. Xét nhóm con mờ tự do à của F(X) cho bởi
à(y) = ∧{t∧ti|i ∈ I(w)}
trong đó w là chữ rút gọn trong lớp tương đương y ∈ F(X) và t = 1 = ∨J. Để tiện lợi, ta đồng nhất mỗi y như vậy với chữ rút gọn của nó. Bây giờ ta sẽ tính toán giá trị của nhóm con mờ tự do à tại một vài điểm. Chẳng hạn
à(u) = ∧{1∧1/3} = 1∧1/3 = 1/3
à(utst−1) = ∧{1∧1/3,1∧1/2,1∧1,1∧1/2} = 1∧1/3∧1/2∧1∧1/2 = 1/3
à(tt) =∧{1∧1/2,1∧1/2}= 1∧1/2∧1/2 = 1/2. Giá trị của à tại chữ rỗng bằng 1 = ∨J.
Họ {Xi|i ∈ J} tạo thành các phần tử sinh của sự thể hiện. Theo Định lí 2.4, tồn tại duy nhất một đồng cấu h sao cho F(X)/Ker(h) ' Z12. Hạt nhân của h cho ta các quan hệ của sự thể hiện (mờ). Điều kiện 3) của Định lí 2.4 (h([x]) = m(x),∀x ∈ X) cho ta các tương ứng h(z) = 0, h(s) = 6, h(t) = 3, h(u) = 1. Lưu ý rằng m : X = {z, s, t, u} −→ Z12 xác định bởi m(z) =f oot(m1(z)) = f oot(01) = 0, m(s) =f oot(m1(s)) = f oot(61) = 6, m(t) = f oot(m1/2(t)) = f oot(31/2) = 3, m(u) =f oot(m1/3(u)) = f oot(11/3) = 1. Có thể đồng nhất z ≡ 0, s ≡ 6, t ≡ 3, u ≡1 nên s2 ≡ 6 + 6 = 0, t2 ≡3 + 3 = 6, u3 ≡ 1 + 1 + 1 = 3 =t. Từ đó ta có các quan hệ cơ bản: z = e, s2 = e, s = t2, t = u3. Do đó nhóm con mờ ρ có sự thể hiện: hx1, s1, t1/2, u1/3|z = e, s2 = e, s = t2, t = u3i. Ví dụ 2.2. Xét nhóm Dihedral D4 = ha, b|a4 = e, b2 = e, ba = a3bi. Cho ρ là
một nhóm con mờ của D4 xác định như sau: ρ(x) = 1 nếu x = e 1/2 nếu x = a2b 1/3 nếu x ∈ {a2, b} 1/4 nếu x ∈ {a, a3, ab, a3b}. Khi đó B1 = {e1}, B1/2 = {w1/2}, B1/3 = {x1/3, y1/3}, B1/4 = {z1/4}. Và X1 = {¯e}, X1/2 = {w¯}, X1/3 = {¯x,y¯}, X1/4 = {¯z},
trong đó, w = a2b, x = a2, y = b, z = a. Điều này kéo theo sự tồn tại duy nhất đồng cấu h thỏa mãn các hệ thức:
h(¯e) = e, h( ¯w) =a2b, h(¯x) = a2, h(¯y) = b, h(¯z) = a. Do đó ta có sự thể hiện:
he1, w1/2, x1/3, y1/3, z1/4|w = xy, z4 = e, y2 = e, x = z2, yz = z3yi
trong đó dấu gạch ngang trên các phần tử sinh được bỏ đi.