Một trong những cấu trúc quan trọng của nhóm con của một nhóm Abel là nhóm chia được. Cấu trúc của một nhóm chia được là hoàn toàn có thể biết. Một nhóm con chia được của một nhóm Abel là một hạng tử trực tiếp của nhóm đó. Khái niệm nhóm con thuần túy cũng rất hữu ích trong lý thyết nhóm Abel. Trong mục này, chúng tôi trình bày khái niệm nhóm con thuần túy và chia được đối với trường hợp mờ.
Trong toàn bộ mục này ta xem G là một nhóm (cộng) Abel với phần tử không là 0.
Định nghĩa 3.5. Cho à là một nhóm con mờ của G. Khi đó à được gọi là chia được nếu ∀xa ⊆ à, a > 0, và ∀n ∈ N luôn tồn tại ya ⊆ à sao cho
Mệnh đề 3.9 ([15]). Cho à là một nhóm con mờ của G. Khi đó
1) à là chia được nếu và chỉ nếu àa là chia được, với mọi a ∈ (0, à(0)].
2) Nếu à là chia được thì à∗ là chia được.
3) Nếu à∗ là chia được và à bằng hằng số trên à∗ \ {0} thì à là chia được. Chứng minh.
1) Giả sử à là chia được. Với a ∈ (0, à(0)] và n là một số tự nhiên tùy ý, giả sử x ∈ àa. Khi đó xa ⊆ à. Vì à là chia được nên ∃ya ⊆ à sao cho
n(ya) = xa. Suy ra ny = x. Vì ya ⊆à nên à(y) ≥ a hay y ∈ àa. Do đó àa là chia được.
Đảo lại, giả sử àa là chia được, với mọi a ∈ (0, à(0)]. Với xa ⊆ à, a > 0
và n ∈ N tùy ý, vì x ∈ àa nên ∃y ∈ àa sao cho ny = x. Suy ra (ny)a = xa
hay n(ya) =xa. Rõ ràng ya ⊆ à. Do đó à là chia được.
2) Giả sử à là chia được. Giả sử x ∈ à∗ và n ∈ N. Khi đó à(x) = a >0, với a ∈ (0,1] nào đó. Do đó xa ⊆ à. Vì à là chia được nên tồn tại ya ⊆ à
sao cho n(ya) = xa. Suy ra ny = x. Vì à(y) ≥ a > 0 nên y ∈ à∗. Vậy à∗ là chia được.
3) Giả sử à∗ là chia được và à bằng hằng số trên à∗ \ {0}. Với xa ⊆ à,
a ∈ (0, à(0)] và n ∈ N thì x ∈ à∗. Do đó tồn tại y ∈ à∗ sao cho x = ny. Nếu
y = 0 thì x = 0 và kết quả là tầm thường. Giả sử y 6= 0. Vì à bằng hằng số trên à∗ \ {0} nên à(y) = à(x) ≥ a. Suy ra ya ⊆ à và xa = n(ya). Vậy à là chia được.
Nhận xét 3.2. Cho n ∈ N, a ∈ (0,1] và xa ⊆ 1{0}. Khi đó x = 0 (vì nếu
x 6= 0 thì a = xa(x) ≤ 1{0}(x) = 0 (mâu thuẫn)). Với y = 0 thì ya ⊆ 1{0} và
ya = 0a = xa. Suy ra n(ya) = (ny)a = 0a = xa. Vậy 1{0} là chia được. Chứng minh của bổ đề sau là đơn giản:
Bổ đề 3.3. Cho n ∈ N và à ∈ F(G). Ta định nghĩa tập con mờ nà của G
như sau:
nà(x) =∨{à(y)|x = ny, y ∈ G}
Khi đó nà là một nhóm con mờ của G.
Nhận xét 3.3. Nếu à có tính chất sup thì (nà)a = nàa.
Mệnh đề 3.10. Cho à ∈ F(G) và à có tính chất sup. Khi đó à là chia được nếu và chỉ nếu à = nà,∀n ∈ N.
Chứng minh. Theo Mệnh đề 3.9,
à là chia được ⇐⇒ àa là chia được, ∀a ∈ (0, à(0)],∀n ∈ N ⇐⇒ nàa = àa,∀a ∈ (0, à(0)],∀n∈ N
⇐⇒ (nàa) =àa,∀a ∈ [0, à(0)],∀n ∈ N
Kí hiệu T là nhóm con xoắn của G.
Mệnh đề 3.11 ([15]). Cho à là một nhóm con mờ của G. Khi đó với mọi
x, y ∈ G và n ∈ N, ny = x kéo theo à(x) = à(y) với mọi nhóm con mờ chia được à của G nếu và chỉ G là không xoắn.
Chứng minh. Giả sử điều kiện cho nhóm con mờ à được thỏa mãn. Giả sử
x ∈ T. Khi đó tồn tại n ∈ N sao cho nx = 0. Theo giả thiết, 1{0} là chia được nên 1{0}(x) = 1{0}(0) = 1. Do đó x = 0 hay T = {0}. Vậy G là không xoắn.
Đảo lại, giả sử G là không xoắn. Giả sửà là một nhóm con mờ chia được tùy ý của G và ny = x. Đặt a = à(x). Khi đó n(ya) = xa và tồn tại y0 ∈ G
sao cho nya0 = xa,ya0 ⊆ à. Suy ra ny0 = x. Vì G là không xoắn nên y = y0. Do đó ya ⊆ à. Ta có a = à(x) =à(ny) ≥ à(y) ≥ a. Do đó à(x) = à(y).
Ta có một kết quả thú vị sau đây:
Mệnh đề 3.12 ([15]). Cho à ∈ F(Q), với Q là nhóm cộng các số hữu tỉ. Khi đó, à là chia được nếu và chỉ nếu à có giá trị hằng trên Q.
Chứng minh. Giả sử à là chia được và x là một phần tử tùy ý của Q. Khi đó tồn tại n ∈ N sao cho nx = m ∈ Z. Theo Mệnh đề 3.11, à(x) = à(m). Mặt khác, m.1 = m nên à(m) = à(1). Do đó à(x) =à(1),∀x ∈ Q.
Đảo lại, giả sử à đạt giá trị hằng trên Q, xa ⊆ à và n ∈ N. Khi đó tồn tại y ∈ Q sao cho ny = x. Suy ra n(ya) = xa. Do à(y) = à(x) nên ya ⊆ à. Vậy à là chia được.
Mệnh đề 3.13 ([15]). Cho G = Z(p∞). Khi đó với mọi nhóm con mờ chia được à của G, ∀x, y ∈ G\ {0} và ∀n ∈ N sao cho ny = x ta có à(x) = à(y). Chứng minh. Giả sử x, y ∈ G \ {0}, n ∈ N và ny = x. Nếu à(x) = 0 thì
à(x) = à(y) = 0. Giả sử à(x) = a > 0.Khi đó xa ⊆ à. Vì à là chia được nên tồn tại y0a ⊆ à sao cho n(ya0) = xa. Suy ra ny0 = x. Vì G có cấp vô hạn nên
y = y0. Suy ra ya ⊆à. Do đó a = à(x) =à(ny) ≥ à(y) ≥a. Vậy à(x) = a = à(y).
Trong lý thuyết nhóm, nếu H là một nhóm con của nhóm G thì H được gọi là thuần túy trong G nếu ∀x ∈ H,∀n ∈ N và ∀y ∈ G sao cho ny = x
thì tồn tại z ∈ H sao cho nz = x. Định nghĩa trên tương đương với mệnh đề: ∀n∈ N, nH = H ∩nG. Một cách tương tự, trong lý thuyết nhóm mờ ta cũng có định nghĩa nhóm con mờ thuần túy.
Định nghĩa 3.6. Cho à là một nhóm con mờ của G và ν ∈ F(à). Khi đó ν
được gọi là thuần túy trong à nếu với mọi xa ⊆ν, a > 0, ∀n∈ N và ∀ya ⊆à
Với nhóm con mờ à của G, mệnh đề sau cho ta điều kiện cần và đủ để một nhóm con mờ là thuần túy trong à:
Mệnh đề 3.14. Cho à là một nhóm con mờ của G và ν ∈ F(à). Khi đó ν là thuần túy trong à nếu và chỉ nếu νa là thuần túy trong àa, ∀a ∈ (0, ν(0)]. Chứng minh. Giả sử ν là thuần túy trong à, x ∈ νa(a ∈ (0, ν(0)]), n ∈ N và
y ∈ àa sao cho ny = x. Vì x ∈ ν(a) nên xa ⊆ ν và y ∈ àa nên ya ⊆ à. Ta có n(ya) = (ny)a = xa (vì ny = x) nên tồn tại za ⊆ ν sao cho n(za) = xa hay
(nz)a = xa. Suy ra nz = a. Do đó νa là thuần túy trong àa
Đảo lại, giả sử νa là thuần túy trong àa, a ∈ (0, ν(0)]. Giả sửxa ⊆ ν, n∈ N
và ya ⊆ à sao cho n(ya) =xa. Vì xa ⊆ ν nên x ∈ νa, tương tự, y ∈ àa. Ta có
(ny)a = n(ya) = xa nên ny = x. Khi đó tồn tại z ∈ νa sao cho nz = x. Suy ra za ⊆ν và n(za) = (nz)a = xa. Vậy ν là thuần túy trong à.
Mệnh đề 3.15 ([15]). Cho à là một nhóm con của G, ν, γ ∈ F(à) sao cho
γ ⊆ν và γ(0) = ν(0) = à(0). Khi đó các mệnh đề sau là đúng:
1) Nếu γ thuần túy trong ν và ν thuần túy trong àthì γ là thuần túy trong
à.
2) Nếu ν là chia được thì ν là thuần túy trong à.
3) Giả sử à là chia được. Khi đó ν là thuần túy trong à nếu và chỉ nếu ν
là chia được. Chứng minh.
1) Giả sử nya = xa, với ya ⊆ à, xa ⊆ γ và n ∈ N. Vì xa ⊆ γ ⊆ ν và ν là thuần túy trong à nên tồn tại za ⊆ ν sao cho nza = xa. Vì γ thuần túy trong
ν nên tồn tại wa ⊆ γ sao cho nwa = xa. Do đó γ là thuần túy trong à.
2) Vì ν chia được nên νa là chia được, ∀a ∈ (0, ν(0)]. Suy ra νa là thuần túy trong àa,∀a ∈ (0, à(0)]. Do đó ν là thuần túy trong à.
3) Vì à chia được nên àa là chia được, ∀a ∈ (0, à(0)]. Do đó νa là thuần túy trong àa,∀a ∈ (0, à(0)] nếu và chỉ nếu νa là chia được, ∀a ∈ (a, à(0)]. Kéo theo ν là thuần túy trong à nếu và chỉ nếu ν là chia được.