Quan trọng là làm thế nào để xây dựng một cách trình bày của Cobs. Trong một số giải thuật, đặc biệt nh- ph-ơng pháp tổ hợp của Ch-ơng 3, đây là đại diện quan trọng đầu tiên để tìm lời giải cho vấn đề. Trong những giải thuật khác, đặc biệt là lấy mẫu - đặt cơ sở lập cho những giải thuật lập lộ trình, nó giúp cho chúng ta hiểu tại sao những giải thuật lại đ-ợc xây dựng nh- vậy để tránh sự phức tạp của chúng.
2.6.1. Mô hình Cobs cho Tr-ờng hợp tịnh tiến
Tr-ờng hợp đơn giản nhất để mô tả đặc điểm Cobs khi C = Rn với n = 1, 2, 3 và robot chỉ là một thể rắn và chỉ hạn chế bởi phép tịnh tiến. D-ới những điều kiện này, Cobs có thể đ-ợc biểu thị nh- một kiểu khúc cuộn.
Cho hai tập hợp bất kỳ X, Y Rn, hiệu Minkowski của chúng đ-ợc định nghĩa nh- sau:
40
Trong đó x - y là vectơ hiệu trên Rn. Hiệu Minkowski giữa x và y cũng có thể đ-ợc xem xét nh- tổng Minkowski của x và - y.
Tổng Minkowski thu đ-ợc bởi phép cộng đơn giản thêm những phần tử của X và Y trong công thức ( 4.37), ng-ợc với việc trừ chúng. Tập hợp - Y đ-ợc thu đ-ợc bởi việc thay thế mỗi y Y bởi - y.
D-ới dạng hiệu Minkowski, Để hiểu rõ điều này chúng
ta xem xét ví dụ một chiều.
Hình 2.11 : Một ch-ớng ngại không gian C- một chiều
Ví dụ ( Ch-ớng ngại C - Không gian một chiều) Trong Hình 2.11, cả hai robot A = [- 1, 2 ] và vùng O ch-ớng ngại = [0, 4] là những khoảng trong một không gian
một chiều, W = R. Phủ định, - A, của robot đ-ợc là khoảng [- 2, 1 ]. Cuối cùng, thực hiện tổng Minkowski O và - A, Cspace ch-ớng ngại, thu đ-ợc Cobs = [- 2, 5 ].
2.6.1.1- Ch-ớng ngại C - không gian đa giác:
Một giải thuật đơn giản cho việc tính toán Cobs tồn tại trong tr-ờng hợp không gian 2D chứa đựng một ch-ớng ngại đa giác lồi O và một robot đa giác lồi A
. Đây th-ờng đ-ợc gọi là giải thuật ngôi sao. Trong vấn đề này, Cobs cũng là một đa giác lồi.
Ta đã biết những ch-ớng ngại và những robot không lồi có thể đ-ợc mô hình nh- hợp của những thành phần lồi. Nh- vậy những khái niệm sau đây cũng có thể
41
áp dụng cho những tr-ờng hợp không lồi bởi việc xem xét Cobs nh- hợp của những thành phần lồi, từng phần t-ơng ứng tới một thành phần lồi của A va chạm với một thành phần lồi của O.
Ph-ơng pháp đ-ợc dựa vào sắp xếp các véctơ pháp tuyến các cạnh của đa giác trên cơ sở những góc của chúng. Khóa xác định mọi cạnh của Cobs là một phép tịnh tiến cạnh từ A hoặc O.
Trong thực tế, mỗi cạnh từ O và A đ-ợc sử dụng đúng một lần trong xây dựng cấu trúc của Cobs. Vấn đề chỉ là việc xác định rõ thứ tự sắp xếp các cạ nh của Cobs. Cho 1, 2,. . n là các vectơ pháp tuyến trong của các cạnh của A theo thứ tự ng-ợc chiều kim đồng. Gọi 1, 2,..., n là các pháp tuyến ngoài của các cạnh O. Sau khi sắp xếp cả hai tập hợp theo ph-ơng song song với các vectơ ta đ-ợc một thứ tự trong S1. Cobs có thể đ-ợc xây dựng thêm những cạnh t-ơng ứng theo thứ tự đã đ-ợc sắp xếp.
Hình 2.12- Một robot A tam giác và một ch-ớng ngại hình chữ nhật.
Ví dụ 2.3 ( Mộtrobot tam giác và ch-ớng ngại hình chữ nhật) Để hiểu đ-ợc ph-ơng pháp chúng ta quay lại xét tr-ờng hợp một robot tam giác và một ch-ớng ngại hình chữ nhật, trong Hình 2.12. Chấm đen trên A biểu thị gốc khung vật thể của nó. Chúng ta cho robot tr-ợt xung quanh ch-ớng ngại và luôn giữ chúng ở trạng thái tiếp xúc nhau nh- trong Hình 2.12(a).
42
Hình 2.13: Xây dựng Cobs trong phép tịnh tiến
(a) Tr-ợt robot xung quanh ch-ớng ngại trong khi giữ chúng tiếp xúc với nhau. (b) Những cạnh theo dấu vết ngoài của A và Cobs.
Điều này phù hợp với việc xem xét tất cả các cạnh của mọi cấu hình bên trong Cobs ( đ-ờng biên của Cobs). Dấu vết ngoài của của A là những cạnh của Cobs, ta nhìn thấy trong Hình 2.13 b. có bảy cạnh, và mỗi cạnh t-ơng ứng với một cạnh của A hoặc một cạnh của O. Những ph-ơng của véc tơ pháp tuyến đ-ợc định nghĩa nh- trong Hình 2.14a. Khi sắp xếp nh- trong Hình 2.14b, những cạnh của Cobs đ-ợc thêm vào cấu trúc.
Hình 2.14 : (a) Lấy véc tơ pháp tuyến trong của các cạnh của A và véc tơ pháp tuyến ngoài củaO. (b) Sắp xếp các vec tơ pháp tuyến của các cạnh xung quanh S1 ta đ-ợc thứ tự của những cạnh bên trong Cobs.
Chi phí thời gian của giải thuật là O(n + m), trong đó n là số cạnh của A, và m là số cạnh của O. Chú ý rằng những góc có thể đ-ợc sắp xếp trong thời gian tuyến tính bởi vì chúng đã đ-ợc sắp xếp theo thứ tự ng-ợc chiều kim đồng hồ quanh A và
43
O; khi đó chúng ta chỉ cần chúng chỉ cần dùng thuật toán hòa trộn. Nếu hai cạnh là
cộng tuyến, thì chúng có thể đ-ợc đặt end-to-end thành một cạnh đơn của Cobs. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Tính toán đ-ờng biên của Cobs : Ph-ơng pháp nhanh chóng xác định cạnh thêm vào cho Cobs. Chúng có thể có cấu trúc đặc d-ới dạng nửa -mặt phẳng.
Có hai khác nhau phát sinh cạnh cho Cobs, nh- trong Hình 2.15.
- Kiểu tiếp xúc EV là tr-ờng hợp một cạnh của A tiếp xúc với một đỉnh của O. - Kiểu tiếp xúc VE là tr-ờng hợp một đỉnh bất kỳ của A tiếp xúc với một cạnh của
O.
Những mối quan hệ giữa các vectơ pháp tuyến với các cạnh cũng đ-ợc thấy trong Hình 2.15.
Hình 2.15 :
Hai kiểu va chạm khác nhau, mỗi kiểu phát sinh một loại cạnh khác nhau của Cobs.
44
2.6.1.2- Một ch-ớng ngại vật C - không gian đa diện: Hầu hết ý t-ởng của không gian đa giác có thể khái quát hóa rất tốt cho tr-ờng hợp một robot đa diện có khả năng chỉ tịnh tiến trong không gian không gian 3 chiều mà chứa đựng những ch-ớng ngại đa diện. Nếu A và O là khối đa diện lồi, những kết quả Cobs là một đa diện lồi.
Hình 2.17: Ba kiểu tiếp xúc khác nhau, sinh một các loại Cobs khác nhau.
Có ba loại những tiếp xúc khác nhau trong C:
1. Kiểu FV: Một mặt của A và một đỉnh của O
2. Kiểu VF: Một đỉnh của A và một mặt của O
3. Kiểu EE: Một cạnh của A và một cạnh của O.
Trong Hình 2.17. Mỗi nửa - không gian định nghĩa một mặt của đa diện,Cobs. Chi phí thời gian để xây dựng Cobs là O(n + m + k), trong n là số mặt của A, m là số mặt của O, và k số mặt của Cobs, thông th-ờng là nm.
2.6.2. mô hình Cobs cho Tr-ờng hợp tổng quát
Trong thực tế, những tr-ờng hợp trong đó Cobs là đa giác hoặc đa diện thì khá hạn chế. Đa số các vấn đề sinh ra C-space obstacles vô cùng phức tạp. Nh-ng một điểm thuận lợi là Cobs có thể sử dụng những mô hình nửa đại số cho bất kỳ robot và ch-ớng ngại nào.
Chúng ta đi xem xét tr-ờng hợp của một robot đa giác lồi và một ch-ớng ngại đa giác lồi trong một không gian 2D. Giả thiết bất kỳ sự biến đổi nào trong SE(2) đều có thể áp dụng cho A; nh- vậy, C = R2 S1 và q = ( xt, yt, ). Nhiệm vụ sẽ định
45
nghĩa một tập hợp của những mẫu đại số có thể định nghĩa đ-ợc những mẫu Cobs. Một lần nữa, chúng ta thấy việc phân biệt giữa những tiếp xúc kiểu VE và EV là rất quan trọng. Bây giờ chúng ta sẽ xem xét làm thế nào để xây dựng những mẫu đại số cho tiếp xúc kiểu EV ; Kiểu VE có thể đ-ợc xây dựng một cách t-ơng tự.
Hạn chế trong tr-ờng hợp chỉ sử dụng phép tịnh tiến, chúng ta thì có thể xác định tất cả các tiếp xúc kiểu EV bằng việc sắp xếp vectơ pháp tuyến cạnh. Với phép quay, sắp xếp vectơ pháp tuyến của cạnh phụ thuộc vào góc . Điều này có nghĩa là khả năng ứng dụng của một tiếp xúc kiểu EV phụ thuộc vào , sự định h-ớng robot. Quay lại sự ràng buộc vectơ pháp tuyến trong h-ớng vào giữa vectơ pháp tuyến ngoài của cạnh O chứa đựng đỉnh va chạm, nh- trong Hình 2.18. Sự ràng buộc này có thể đ-ợc biểu thị d-ới dạng những tích vô h-ớng của những vectơ v1 và v2.
Hình 2.18: Xây dựng Cobs cho phép quay.
Sự phát biểu l-u tâm tới h-ớng của những vectơ pháp tuyến có thể t-ơng đ-ơng với việc trình bày rõ ràng góc giữa n và v1, n và v2, phải nhỏ hơn p/2. Sử dụng những tích vô h-ớng, n v1 = 0 và n v2 = 0. Nh- trong tr-ờng hợp tịnh tiến, điều kiện n v = 0 là điều kiện của sự va chạm. Ta thấy n phụ thuộc vào . Cho bất kỳ q C, nếu n( ) v1 = 0, n( ) v2 = 0, và n( ) v(q) > q, thì q Cfree. Để cho Hf biểu thị tập hợp của những cấu hình thỏa mãn những điều kiện này có nghĩa là tập các điểm trong Cfree. Hơn nữa, mọi kiểu khác với hai kiểu tiếp xúc EV và VE với có thể có nhiều điểm hơn trong Cfree. Hf Cfree, phần bù của nó C \ Hf, là một tập chứa Cobs ( Cobs C \ Hf ). Để cho HA = C \ Hf. Sử dụng những mẫu:
46
Để cho .
Điều đó cho biết những Cobs HA, trừ phi HA có chứa điểm trong Cfree. Tình trạng t-ơng tự để xây dựng một mô hình của một đa giác lồi từ những nửa - mặt phẳng. Trong sự thiết đặt hiện thời, bất kỳ cấu hình nào bên ngoài của HA phải thuộc trong Cfree. Nếu HA giao với tất cả những tập hợp cho mỗi tiếp xúc kiểu EV và kiểu VE, thì kết quả là Cobs. Mỗi tiếp xúc có cơ hội để loại bỏ một phần của Cfree từ sự xem xét. Dần dần, đạt tới mức độ từng phần của Cfree đ-ợc loại bỏ để những cấu hình duy nhất còn lại phải thuộc trong Cobs. Với bất kỳ kiểu va chạm EV nào (H1 H2) \ H3 Cfree. Phát biểu t-ơng tự cho những va chạm kiểu VE. Mộtvị từ lôgíc, có thể xây dựng để xác định q Cobs với thời gian tuyến tính theo số những mẫu của Cobs.
Một vấn đề quan trọng còn lại. Biểu thức n( ) không phải là một đa thức bởi vì cos( ) và sin( ) vẫn là những đối t-ợng trong ma trận quay của SO(2). Nếu một đa thức có thể là thay thế cho những biểu thức này, thì mọi thứ có thể trở nên cố định vì biểu thức của vectơ pháp tuyến (không phải là một đơn vị chuẩn tắc) và tích vô h-ớng là cả hai hàm tuyến tính, do đó thay đổi đa thức vào trong đa thức. Tuy nhiên, một cách tiếp cận đơn giản hơn là sử dụng những số phức để đại diện phép quay. Khi a + bi đ-ợc sử dụng để đại diện phép quay, mỗi ma trận quay trong SO(2) đ-ợc đại diện nh- công thức
và ma trận 3x3 biến đổi thuần nhất trở thành:
(2.36) (2.37)
(2.38) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
47
Sử dụng ma trận này để thay đổi một điểm [ x y 1 ] trong những tọa độ điểm (ax-by+xt, bx+ay+yt). Nh- vậy, bất kỳ điểm biến đổi trên A là một hàm tuyến tính của a, b, xt, và yt.
2.7. Kết luận.
Ch-ơng này trình bày các vấn đề biểu diễn các không gian cấu hình và các phép biến đổi của robot trong không gian đặc biệt là không gian Cobs.Đây chính là những kiến thức làm nền tảng cho các ph-ơng pháp lập lộ trình chính xác.
48
Ch-ơng III
Một số ph-ơng pháp chính xác lập lộ trình chuyển động
3.1.Giới thiệu chung
Trong vấn đề lập trình cho robot có rất nhiều những giải thuật lập lộ trình, mỗi giải thuật có những tiềm năng và ứng dụng nhất định. Các ph-ơng pháp có thể bao gồm các ph-ơng pháp lấy mẫu cơ sở, ph-ơng pháp lập lộ trình chính xác.
Cách tiếp cận tổ hợp tới việc lập lộ trình chuyển động để tìm thấy những đ-ờng đi xuyên qua không gian cấu hình liên tục mà không dùng đến những thuật toán xấp xỉ. Nhờ có tính chất này nên cách tiếp cận này còn gọi là giải thuật lập lộ trình chính xác.
Sự biểu diễn quan trọng: Khi nghiên cứu những giải thuật này điều quan trọng là việc xem xét cẩn thận định nghĩa đầu vào :
- Mô hình nào đ-ợc sử dụng để mô hình hoá robot và ch-ớng ngại vật? - Tập hợp những biến đổi nào đ-ợc áp dụng cho Robot?
- Số chiều của không gian?
- Robot và không gian có thoả mãn tính chất lồi không? - Chúng có là phân đoạn tuyến tính?
Chỉ định rõ các đầu vào có thể xác định tập các thể hiện của bài toán mà trên đó các thuật toán sẽ tác nghiệp. Nếu những thể hiện có những tính chất thuận lợi nhất định (số chiều của không gian thấp, những mô hình thể hiện là không gian lồi…) thì một giải thuật tổ hợp có thể cung cấp một giải pháp rất tốt và thực tế. Nếu tập hợp của những thể hiện quá rộng, thì một yêu cầu phải thoả mãn cả tính c hất trọn vẹn lẫn những giải pháp thực hành có thể vô lý, những công thức chung của vấn đề lập lộ trình chuyển động không thể đạt đ-ợc. Tuy vậy, vẫn tồn tại một số điểm chung để
49
hoàn thành những giải thuật lập lộ trình chuyển động.
Tại sao cần phải nghiên cứu ph-ơng pháp lập lộ trình tổ hợp?
Có hai lý do cần nghiên cứu những ph-ơng pháp tổ hợp để tiếp cận tới việc lập lộ trình chuyển động, đó là :
Thứ nhất, trong nhiều ứng dụng, việc lập lộ trình chuyển động có thể chỉ quan tâm đến một lớp đặc biệt, ví dụ với không gian chỉ là không gian hai chiều 2D, và robot chỉ có khả năng tịnh tiến. Khi tập hợp nhiều lớp đặc biệt thì những giải thuật thực thi có thể đ-ợc phát triển. Những giải thuật này là đầy đủ, không phụ thuộc vào sự xấp xỉ, và tỏ ra thực hiện tốt hơn hơn những ph-ơng pháp lập lộ trình lấy mẫu cơ sở.
Thứ hai, những ph-ơng pháp tổ hợp vừa đáng chú ý lại vừa thoả mãn cho một lớp rộng những giải thuật lập lộ trình chuyển động.
Tuy nhiên, cũng cần phải chú ý với đa số các ph-ơng pháp có thể thực th i, nh-ng ng-ợc lại còn một số giải thuật còn quá phức tạp và khó ứng dụng trong thực tế. Dù một giải thuật trong lý thuyết cho các chi phí về thời gian thực hiện rất nhỏ, nh-ng trong thực tế khi thực hiện thì nó khó có thể đạt đ-ợc mức chi phí đó. Đôi khi ng-ời ta phải chấp nhận tr-ờng hợp những giải thuật có thời gian chạy xấu hơn nhiều so với giải thuật lý thuyết nh-ng lại dễ hiểu và dễ thực hiện hơn. Đây cũng vẫn là một vấn đề mở để những ng-ời lập trình cần cố gắng xây dựng những giải thuật ngày càng hiệu quả hơn cho dù hiện nay kết quả chủ yếu vẫn là trên lý thuyết. Vì vậy nó luôn thúc đẩy mọi ng-ời tìm kiếm những giải thuật đơn giản và hiệu quả hơn trong thực tế.
Roadmaps
Hầu nh- tất cả cách tiếp cận của việc lập lộ trình chính xác là xây dựng một đ -ờng đi theo một cách nào đó để giải quyết những truy vấn. Khái niệm này đã đ-ợc giới thiệu. Nh-ng trong ch-ơng này yêu cầu Roadmaps phải đ-ợc định nghĩa chính xác hơn bởi vì các giải thuật ở đây cần xây dựng trọn vẹn. Một số giải thuật lập lộ trình tổ hợp đ-ợc tiếp cận theo ý t-ởng tr-ớc hết xây dựng một sự phân ly Cfree và từ đó