() ⇒ Giả sử rằn gA là một conilict free Ta cần chứng minh
3.2.3 Đoạn không giao nhau
Phần 3.2.2 ta đã nghiên cứu phương pháp dùng cây tìm kiếm ưu tiên để tìm tiền tố dài nhất khớp với địa chỉ đích d. Trong phần này ta nghiên cứu về một ưu điểm khi sử dụng cây tìm kiếm ưu tiên đó là có thể kiểm tra tính chất giao nhau của các đoạn. Sau đây là cách để kiểm tra tính hợp lệ của một đoạn khi chèn vào cây.
Cho R là tập các đoạn không giao nhau, dễ dàng nhận thấy R là một
conflict free. Giả sử R gồm một đoạn z khớp với tất cả các địa chỉ đích (z = [0, 232 – 1] trong IPv4). Với giả thiết này msr(d) được xác định cho mọi d. Ta sử dụng PST1(tranform1(map1(R))) để tìm msr(d) như trong phần 3.2.2 Việc chèn một đoạn r xảy ra khi r không giao với bất kỳ đoạn nào của R. Sau lần kiểm tra này, ta có thể chèn r vào PST1 như đã mô tả trong 3.2.2. Để kiểm tra sự giao nhau giữa các đoạn, ta cần kiểm tra hai trường hợp đoạn giao nhau ở định nghĩa 2(c).
Trường hợp 1 nếu ∃ ∈s R[x<u y<v]≤ khi và chỉ khi map1(R) có ít nhất 1 điểm trong hình chữ nhật được định nghĩa bởi xleft = u, xright = v - 1, và ytop = u - 1, (lưu ý, mặc định ybottom= 0). Khi đó ∃ ∈s R[x<u y<v]≤ khi và chỉ khi minXinRectangle(2wu – (u – 1) + 2w – 1, 2w (v – 1) + 2w - 1, u -1) tồn tại trong PST1.
Trường hợp 2 nếu ∃ ∈s R[u<x≤v<y]. Ánh xạ các đoạn của R thành các điểm trong không gian hai chiều sử dụng hàm ánh xạ: map2(r) = (start(r), 2w – 1 – finish(r)). Gọi kết quả sau khi ánh xạ là tập các điểm
map2(R). Ta thấy rằng ∃ ∈s R[u<x≤v<y] khi và chỉ khi map2(R) có ít nhất một điểm trong hình chữ nhật được xác định bởi xleft = u + 1, xright = v, ytop
= (2w – 1) – v – 1. Để kiểm tra, ta duy trì một cây PST thứ hai, đó là cây
x + y, y). Do đó, ∃ ∈s R[u<x ≤v<y] khi và chỉ khi
minXinRectangle(2w(u+1), 2w v + (2w – 1) – v – 1, (2w – 1) – v - 1) tồn tại. Khi xóa một đoạn r , ta phải xóa r từ cả hai cây PST1 và PST2. Việc xóa một đoạn từ cây PST tương tự như việc xóa một tiền tố trong phần trước 3.2.2.
Sự phức tạp của các hàm để tìm msr(d), chèn một đoạn, và xóa một đoạn giống như các thao tác này trong trường hợp R là tập của đoạn tương ứng với các tiền tố.