Định nghĩa 8:
maxP(u, v, R) = max{finish(∏( )A )|A⊆R ∧range(∏( )A ) ∧start(∏( )A
)=u ∧finish(∏( )A )≤v} là một phép chiếu lớn nhất có thể mà một đoạn bắt
đầu tại u và kết thúc bởi v.
minP(u, v, R) = min{start(∏( )A )|A⊆R ∧range(∏( )A ) ∧finish(∏( )A )=v
∧start(∏( )A )≥u} là một phép chiếu nhỏ nhất có thể mà một đoạn kết thhúc tại v và bắt đầu bởi u.
Khi ¬∃ ⊆A [range(∏( ))A ∧start(∏( ))=A u∧ finish(∏( ))A ≤v], chúng ta nói maxP(u, v, R) không tồn tại.
Tương tự ¬∃ ⊆A [range(∏( ))A ∧ finish(∏( ))=A v start∧ (∏( ))A ≥u] thì minP(u, v, R) không tồn tại. Khi đó chúng ta sử dụng maxP, minP là viết tắt của max(u, v, R) và min(u, v, R) tương ứng. Trong đó:
maxY(u, v, R) = max{y|[x, y]∈R∧ x<u≤ y<v} và minX(u, v, R) = minX{x|
[x, y] ∈R∧ u<x≤v<y}. Chú ý maxY và minX có thể không tồn tại.
Bổ đề 3. Một tập các đoạn là một conflict free nếu và chỉ nếu nó
không có cặp đoạn nào là conflict.
Bổ đề 4. Cho R là một tập các đoạn conflict free. Cho r là một đoạn
bất kỳ. A ⊆R sao cho A bao gồm tất cả các đoạn của R mà được chứa trong r. A là một conflict free.
Chứng minh: Khi R là một conflict free, mọi cặp (s, t) là các đoạn không giao nhau trong A có một resolving subnetB trong R. Từ định nghĩa 7, ta thấy rằng mọi đoạn trong B được chứa trong overlap(s, t). Do vậy, B
⊂ A. Do đó, mọi cặp không giao nhau của A có một resolving subnet trong
Bổ đề 5. Cho R là một tập các đoạn conflict-free. Cho r là một đoạn
bất kỳ. A ⊆R sao cho A bao gồm tất cả các đoạn của R mà được chứa trong r. A là một conflict free.
Chứng minh: Khi R là một conflict free, mọi cặp (s, t) là các đoạn không giao nhau trong A có một resolving subnetB trong R. Từ định nghĩa 8, ta thấy rằng mọi đoạn trong B được chứa trong overlap(s, t). Do vậy, B
⊂ A. Do đó, mọi cặp không giao nhau của A có một resolving subnet trong
A. Cho nên A là một conflict free.
Định nghĩa 9:
maxP(u, v, R) = max{finish(∏( )A )|A⊆R ∧range(∏( )A ) ∧start( ( )A
∏ )=u ∧finish(∏( )A )≤v} là một phép chiếu lớn nhất có thể mà một đoạn bắt đầu tại u và kết thúc bởi v.
minP(u, v, R) = min{start(∏( )A )|A⊆R ∧range(∏( )A ) ∧finish(
( )A
∏ )=v ∧start(∏( )A )≥u} là một phép chiếu nhỏ nhất có thể mà một đoạn kết thhúc tại v và bắt đầu bởi u.
Khi ¬∃ ⊆A [range(∏( ))A ∧start(∏( ))=A u∧ finish(∏( ))A ≤v], chúng ta nói maxP(u, v, R) không tồn tại.
Tương tự ¬∃ ⊆A [range(∏( ))A ∧ finish(∏( ))=A v start∧ (∏( ))A ≥u] thì minP(u, v, R) không tồn tại. Khi đó chúng ta sử dụng maxP, minP là viết tắt của max(u, v, R) và min(u, v, R) tương ứng. Trong đó:
maxY(u, v, R) = max{y|[x, y]∈R∧ x<u≤ y<v} và minX(u, v, R) = minX{x|
[x, y] ∈R∧ u<x≤v<y}. Chú ý maxY và minX có thể không tồn tại.
Bổ đề 6. Cho R là một tập các đoạn conflict-free. Cho A = R∪{ }r , với r =[u,v] R∉ .
conflictFree(A) ⇔ maxY(u,v,R) ≤maxP(u,v,R)∧minX(u,v,R)≥minP(u,v,R)
với maxY≤maxP(minX ≥minP) là đúng khi maxY (minX) không tồn tại và sai khi maxY (minX) tồn tại nhưng maxP (minP) không tồn tại.
Chứng minh. ( )⇒ Giả sử A là một conflict free. Khi hoặc là maxY hoặc
minX tồn tại (điều này xảy ra khi và chỉ khi không có đoạn nào của R giao với s = [x, maxY]), maxY≤maxP ∧minX ≥minP. Khi maxY tồn tại,
[ ] <v
s= x,maxY ∈ ∧ < ≤A x u maxY (chú ý intersect(r, s)). Khi A là một conflictfree, A có một resolving subnet B với∏( )B =overlap r s( , ) [u, = maxY]. Do đó, free, A có một resolving subnet B với∏( )B =overlap r s( , ) [u, = maxY]. Do đó,
maxY ≤ maxP. Tương tự, khi minX tồn tại, minX ≥minP.
( )⇐ Giả sử maxY u,v,R maxP u,v,R( )≤ ( )∧minX u,v,R( )≥minP u,v,R( ). Khi
hoặc là minY hoặc minX tồn tại, không có đoạn nào của R giao với r. Khi
minY tồn tại, ∃ =s [ ]x y, ∈A x u[ < < <y v]. Coi như s = [x, y]. Khi minY ≤
maxP và minY tồn tại, maxP tồn tại. Khi đó
( ) ( ) [ ]