() ⇒ Giả sử rằn gA là một conilict free Ta cần chứng minh
3.2.1Biểu diễn tập các đoạn trên cây tìm kiếm ưu tiên
Cây tìm kiếm ưu tiên với các tính chất đã trình bày ở chương 2, có thể sử dụng để biểu diễn một tập các đoạn bằng cách ánh xạ một đoạn vào một nút của cây. Các bước thực hiện như sau:
Bước một ánh xạ một đoạn r vào một nút trong cây tìm kiếm ưu tiên theo công thức:
(key1, key2, data)=(finish(r), start(r), data) (3.7) với key1, key2 là khóa của nút trong cây tìm kiếm ưu tiên, data là thông tin bất kỳ.
Bước hai biểu diễn cây tìm kiếm ưu tiên trên không gian hai chiều. Gọi map1(r) là điểm sau khi ánh xạ nút tương ứng với đoạn r trong cây tìm kiếm ưu tiên, ta có: map1(r) = (x, y)= (key1, key2) = (finish(r), start(r))
Hình 3.3. Tậpcác đoạn và các điểm tương ứng trong không gian hai chiều
Hình 3.3 minh họa tập các đoạn ban đầu và các điểm trong không gian 2 chiều sau hai bước ánh xạ. Ta nhận thấy nếu sử dụng phép ánh xạ ở phương trình (3.7) thì ta nhận được tập các điểm P= map1(R) từ tập các đoạn R, khi đó ranges(d) (định nghĩa 5) là các điểm nằm trong hình chữ nhật (gồm cả các điểm trên đường biên) định nghĩa bởi xleft = d, xright = ∞,
ytop = d, ybottom = 0. Các điểm này lấy được khi sử dụng phương thức
enumerateRectangle(xleft, xright, ytop) = enumerateRectangle(d, ∞, d) của cây PST (Ybottom ẩn nghĩa là bằng 0)
Khi cây RPST được sử dụng để biểu diễn các điểm trong tập P, độ phức tạp của hàm enumerateRactangle(xleft, xright, ytop) là O(log maxX + s), với maxX là giá trị x lớn nhất trong P, và s là số điểm trong hình chữ nhật được truy vấn. Khi tập các điểm được biểu diễn bởi một cây RBPST, thì độ phức tạp sẽ là O(log n + s), với n = |P|. Một điểm (x, y) (hay là một đoạn [y, x]) có thể được chèn hoặc xóa trong một cây RPST (RBPST) với thời gian là O(log maxX) hoặc (O(log n )).
Như vậy sau khi ánh xạ tập các đoạn lên cây PST bằng phép