Bài tốn ngƣời du lịch (Travelling Salesman problem (TSP)) là một bài tốn khá nổi tiếng trong lĩnh vực tối ƣu tổ hợp đƣợc nghiên cứu trong lý thuyết khoa học máy tính. Nội dung của nĩ khá đơn giản , nĩ đƣợc phát biểu nhƣ sau : Cho một danh sách các thành phố và khoảng cách giữa chúng, nhiệm vụ là phải tìm đƣờng đi ngắn nhất cĩ thể mà chỉ thăm mỗi thành phố đúng 1 lần.
Bài tốn đƣợc lần đầu tiên đƣa ra nhƣ một vấn đề tốn học vào năm 1930 và là một trong số những bài tốn đƣợc nghiên cứu chuyên sâu trong lĩnh vực tổ hợp thời đĩ. Nĩ đƣợc sử dụng nhƣ một sự đánh giá cho nhiều phƣơng thức tối ƣu khác nhau. Thậm chí bài tốn là thuộc lớp NP khĩ , một lƣợng rất lớn các heuristic và phƣơng thức tìm kiếm cụ thể đã đƣợc biết đến vì vậy một vài trƣờng hợp của bài tốn với khoảng chục nghìn thành phố đã đƣợc giải quyết.
TSP cĩ một vài ứng dụng thậm chí trong dạng thức nguyên thuỷ của nĩ nhƣ lập kế hoạch , logistic , và sản xuất các microchip. Thay đổi đi chút ít nĩ xuất hiện nhƣ một bài tốn con trong rất nhiều lĩnh vực nhƣ việc phân tích gen trong sinh học. Trong những ứng dụng này, khái niệm thành phố cĩ thể
thay đổi thành khách hàng, các điểm hàn trên bảng mạch, các mảnh DNA trong gen, và khái niệm khoảng cách cĩ thể biểu diễn bởi thời gian du lịch hay giá thành , hay giống nhƣ sự so sánh giữa các mảnh DNA với nhau. Trong nhiều ứng dụng, các hạn chế truyền thống nhƣ giới hạn tài nguyên hay giới hạn thời gian thậm chí cịn làm cho bài tốn trở nên khĩ hơn.
Hình 3.2 Mơ hình đồ thị của bài tốn
TSP cĩ thể đƣợc mơ hình nhƣ một đồ thị , các đỉnh của đồ thị tƣơng ứng với các thành phố và các cạnh thì tƣơng ứng với đƣờng nối giữa các thành phố, chiều dài của một cạnh tƣơng ứng với khoảng cách giữa 2 thành phố. Một đƣờng đi trong bài tốn TSP là một chu trình Hamilton trên đồ thị và một lời giải tối ƣu của bài tốn là chu trình Hamilton ngắn nhất.
Thƣờng thì đồ thị là đồ thị đầy đủ , vì vậy mọi cặp cạnh đều đƣợc nối bởi các cạnh. Đây là bƣớc đơn giản hĩa bài tốn vì việc tìm chu trình Hamilton trong một đồ thị đầy đủ là dễ. Các bài tốn mà khơng phải 2 thành phố nào cũng đƣợc nối với nhau cĩ thể đƣợc chuyển đổi thành đồ thị đầy đủ bằng cách thêm những cạnh cĩ độ dài lớn giữa cách thành phố này, những cạnh đƣợc nối thêm sẽ khơng xuất hiện trong chu trình tối ƣu.
a b c d 20 30 34 40 24 12
Đối xứng và bất đối xứng : Trong bài tốn đối xứng khoảng cách giữa các thành phố là nhƣ nhau theo 2 hƣớng, vì vậy đồ thị biểu diễn là đồ thị vơ hƣớng. Sự đối xứng này làm giảm 1 nửa số lời giải cĩ thể.
Trong bài tốn bất đối xứng , khoảng cách từ thành phố này đến thành phố khác khơng nhất thiết phải bằng khoảng cách theo hƣớng ngƣợc lại, thậm chí cĩ thể khơng cĩ kết nối theo chiều ngƣợc lại. Vì vậy biểu diễn bài tốn bất đối xứng là đồ thị cĩ hƣớng..
Với khoảng cách là metric: Trong bài tốn metric TSP khoảng cách giữa các thành phố phải thỏa mãn điều kiện của bất đẳng thức tam giác .Điều này cĩ thể phát biểu rằng đƣờng nối trực tiếp từ A đến B khơng bao giờ dài hơn đƣờng đi từ A tới B mà qua C trung gian
Cij≤ Cik+Ckj
Những chiều dài cạnh này định nghĩa một metric trong tập các đỉnh . Khi đĩ các thành phố đƣợc xem nhƣ những điểm trên đồ thị.
Bài tốn này đã biết là NP-khĩ, ngay cả khi độ dài thỏa mãn bất đẳng thức tam giác nghĩa là với ba đỉnh bất kỳ x,y,zV(G) ta cĩ w(x,z)w(x,z)+w(y,z). Bất đẳng thức tam giác thƣờng gặp trong tình huống thực tiễn.
Trong phần này, sẽ trình bày thuật tốn xấp xỉ cho TSP metric. Thuật tốn dựa trên Minimum Spanning Trees (MSTs)