Đồ thị vơ hƣớng liên thơng khơng cĩ chu trình gọi là cây. Khái niệm cây lần đầu tiên đƣợc Cayley đƣa ra vào 1857, khi ơng sử dụng chúng để đếm một dạng cấu trúc phân tử của các hợp chất hĩa học trong hĩa học hữu cơ. Cây cịn đƣợc sử dụng rộng rãi trong rất nhiều lĩnh vực khác nhau, đặc biệt trong tin học, cây đƣợc sử dụng để xây dựng các thuật tốn tổ chức các thƣ mục, các thuật tốn cất giữ, truyền dữ liệu và tìm kiếm.
Định nghĩa 2.12: Ta gọi cây là một đồ thị vơ hướng liên thơng và khơng cĩ chu trình. Đồ thị vơ hướng gồm k thành phần liên thơng mà mỗi thành phần liên thơng là một cây được gọi là rừng.
T1 T2 Hình 2.18. Cây của đồ thị
Trong hình 2.18 là một rừng gồm 2 cây T1, T2.
Cĩ thể nĩi cây là đồ thị vơ hƣớng đơn giản nhất. Định lý sau đây cho ta một số tính chất của cây.
Định lý 2.6: Giả sử G = (V, E) là đồ thì vơ hướng n đỉnh. Khi đĩ các mệnh đề sau đây là tương đương:
1) T là cây.
2) T khơng chứa chu trình và cĩ n-1 cạnh. 3) T liên thơng và cĩ n-1 cạnh .
4) T liên thơng và mỗi cạnh của nĩ đều là cầu.
5) Hai đỉnh bất kỳ của T đƣợc nối với nhau bởi đúng một đƣờng đi đơn. 6) T khơng chứa chu trình nhƣng hễ cứ thêm vào một cạnh ta thu đƣợc
một chu trình.
Chứng minh: ta sẽ chứng minh định lý theo sơ đồ sau: (1)=>(2)=>(3)=>(4)=>(5)=>(6)=>(1)
(1)=>(2) theo định nghĩa T khơng chứa chu trình. Ta sẽ chứng minh bằng qui nạp theo số đỉnh n cho khẳng định: Số cạnh của cây với n đỉnh là n -1. Rõ ràng khẳng định đúng với n = 1. Giả sử n > 1. Trƣớc hết nhận rằng trong mọi cây T cĩ n
a b c d a b d c d
đỉnh đều tìm đƣợc ít nhất một đỉnh là đỉnh treo (tức là đỉnh cĩ bậc là 1). Thực vậy, gọi v1,v2,…,vk là đƣờng đi dài nhất (theo số cạnh) trong T. Khi đĩ rõ ràng v1 và vk là các đỉnh treo, vì từ v1(vk) khơng cĩ cạnh nối với bất cứ đỉnh nào trong số các đỉnh v2,v3,…,vk (do đồ thị khơng chứachu trình), cũng nhƣ với bất cứ đỉnh nào khác của đồ thị (do đƣờng đi đang xét dài nhất). Loại bỏ v1 và cạnh (v1,v2) khỏi T ta thu đƣợc cây T1 với n-1 đỉnh, mà theo giả thiết qui nạp cĩ n-2 cạnh. Vậy cây T cĩ n-2+1=n-1 cạnh.
(2) => (3) ta chứng minh bằng phản chứng. Giả sử T khơng liên thơng. Khi đĩ T phân rã thành k ≥ 2 phần liên thơng T1,T2,…,Tk. Do T khơng chứa chu trình nên mỗi Ti (i=1,2,..,k) cũng khơng chứa chu trình, vì thế mỗi Ti là cây. Do đĩ nếu gọi n(Ti) và e(Ti) theo thứ tự là số đỉnh và cạnh của Ti, ta cĩ:
e(Ti) = n(Ti)-1, i =1,2,3,…,k suy ra
n-1 = e(T) = e(T1) +…+ e(Tk) = n(T1) +…+ n(Tk)-k
= n(T) - k < n-1
Mâu thuẫn thu đƣợc chứng tỏ là T liên thơng.
(3)=>(4) Việc loại bỏ một cạnh bất kỳ khỏi T dẫn đến đồ thị với n đỉnh và n-2 cạnh rõ ràng là đồ thì khơng liên thơng.vậy mọi cãnh trong T đều là cầu.
(4)=>(5) Do T là liên thơng nên hai đỉnh bất kỳ của nĩ đƣợc nối với nhau bởi một đƣờng đi đơn. Nếu cĩ cặp đỉnh nào của T cĩ hai đƣờng đi đơn khác nhau nối chúng, thì từ đĩ suy ra đồ thị chứa chu trình, và vì thế các cạnh trên chu trình này khơng phải là cầu.
(5)=>(6) T khơng chứa chu trình, bởi vì thế nếu cĩ chu trình thì hĩa ra tìm đƣợc cặp đỉnh của T đƣợc nối với nhau bởi hai đƣờng đi đơn. Bây giờ, nếu thêm vào T một cạnh e nối hai đỉnh u và v nào đĩ của T. Khi đĩ cạnh này cùng với đƣờng
đi đơn nối u và v sẽ tạo thành chu trình trong T. Chu trình thu đƣợc này là duy nhất, vì thế thu đƣợc nhiều hơn một chu trình thì suy ra trong T trƣớc đĩ phải cĩ sãn chu trình.
(6)=>(1) Giả sử T khơng liên thơng. Khi đĩ gồm ít ra là thành phần liên thơng. Vì vậy, nếu thêm vào T cạnh nối hai đỉnh thuộc hai thành phần liên thơng khác nhau ta khơng thu đƣợc thêm một chu trình nào cả. Điều đĩ mâu thuẫn với giả thiết (6) định lý đƣợc chứng minh.
Tĩm lại. Chƣơng này đã đề cập tới những khái niệm về đồ thị cĩ liên quan đến bài tốn cây bao trùm nhỏ nhất đƣợc xét ở các chƣơng sau. Cụ thể, đã trình bày và giải thích các khái niệm về đồ thị (vơ hƣớng, cĩ hƣớng), đỉnh và cạnh (cung), đƣờng và chu trình trong đồ thị, chu trình Euler, chu trình Hamilton.
Chƣơng 3. BÀI TỐN CÂY BAO TRÙM NHỎ NHẤT
Chƣơng này đề cập tới bài tốn cây bao trùm nhỏ nhất, một bài tốn cơ bản cĩ vai trị trung tâm trong lý thuyết tối ƣu tổ hợp và cĩ nhiều ứng dụng thiết thực trong thực tiễn, đặc biệt trong các vấn đề về thiết kế mạng. Chúng tơi sẽ giới thiệu bài tốn và một số ứng dụng trực tiếp của nĩ, sau đĩ sẽ trình bày ba thuật tốn nổi tốn nổi tiếng giải bài tốn và cuối cùng đề cập tới bài tốn ngƣời du lịch dựa vào bài tốn cây bao trùm nhỏ nhất. Nội dung trình bày ở chƣơng bày ở chƣơng này dựa chủ yếu trên các tài liệu [2], [4] và [8].
3.1 Nội dung và ý nghĩa bài tốn 3.1.1 Nội dung bài tốn