Chúng ta đã thảo luận khái niệm khối tâm trong quyển đầu của bộ sách này, nhưng sử dụng khái niệm động lượng bây giờ chúng ta có thể tìm một phương pháp toán học cho xác định khối tâm, giải thắch tại sao chuyển động của khối tâm của một vật thường biểu hiện chuyển động đơn giản hơn bất kì điểm nào khác, và thu được một phương pháp rất đơn giản và mạnh để tìm hiểu các va chạm.
f/ Trong hình chụp liên tiếp này, chúng ta thấy cái chìa vặn từ phắa trên nhìn xuống khi nó bay trong khơng khắ, vừa quay vừa đi tới. Khối tâm của nó, đánh dấu với chữ thập đen, chuyển động theo một đường thẳng, không giống như các điểm khác trên cái chìa vặn, chúng đi theo những vòng tròn.
66 ẹ hiepkhachquay dịch | Bài giảng Các định luật bảo toàn
Bước thứ nhất là nhận ra khái niệm khối tâm có thể áp dụng cho các hệ chứa nhiều hơn một vật. Ngay cả một số thứ như cái chìa vặn, chúng ta nghĩ là một vật, thật ra cấu thành từ nhiều nguyên tử. Khối tâm đặc biệt dễ hình dung trong trường hợp biểu diễn trong hình bên, trong đó ha quả khúc cơn cầu giống hệt nhau va chạm nhau. Rõ ràng trên cơ sở đối xứng thì khối tâm của chúng phải nằm ở điểm chắnh giữa chúng. Sau rốt, trước đây chúng ta đã định nghĩa khối tâm là điểm cân bằng, và nếu hai quả bóng được đẩy bằng cái gậy rất nhẹ có khối lượng của nó khơng đáng kể, hiển nhiên chúng sẽ cân bằng ở điểm chắnh giữa. Khơng hề gì chuyện các quả bóng là hai vật cách rời nhau. Vẫn đúng là chuyển động khối tâm của chúng đặc biệt đơn giản, giống hệt như trường hợp khối tâm của cái chìa vặn.
Tọa độ x của khối tâm của quả bóng khúc cơn cầu do đó được cho bởi xcm = (x1 + x2)/2, tức là trung bình số học của
các tọa độ x của chúng. Tại sao chuyển động của nó quá đơn giản ? Nó phải làm việc với sự bảo tồn động lượng. Vì các quả khúc cơn cầu khơng bị tác dụng bởi bất kì lực ngồi nói chung nào, nên chúng hình thành nên một hệ kắn, và tổng động lượng của chúng được bảo toàn. Tổng động lượng của chúng là mv1 + mv2 = m (v1 + v2) ( ) 1 2 1 2 2 cm tp cm x x m t t m x x t x m t m v ∆ ∆ = + ∆ ∆ = ∆ + ∆ ∆ = ∆ =
g/ Hai quả khúc côn cầu va chạm nhau. Khối tâm chung của chúng vạch thành đường thẳng biểu diễn bởi đường đứt nét.
Nói cách khác, tổng động lượng của hệ là bằng nhau nếu như tất cả khối lượng của nó tập trung tại điểm khối tâm. Vì tổng động lượng được bảo toàn, nên thành phần x của vec-tơ vận tốc của khối tâm không thể thay đổi. Điều tương tự cũng đúng đối với những thành phần khác, nên khối tâm phải chuyển động theo một đường thẳng ở tốc độ không đổi.
Mối quan hệ trên giữa tổng động lượng và chuyển động của khối tâm áp dụng cho bất kì hệ nào, cho dù nó có kắn hay khơng.
Liên hệ giữa tổng động lượng với chuyển động của khối tâm
Tổng động lượng của hệ bất kì liên hệ với tổng khối lượng của nó và vận tốc của khối tâm của nó bởi phương trình
Bài giảng Các định luật bảo toàn | Benjamin Crowell 67
Cịn một hệ chứa các vật có khối lượng khác nhau, hoặc chứa nhiều hơn hai vật thì sao ? Lắ giải ở trên có thể khái qt hóa cho trung bình trọng lượng
1 1 2 2 1 2 ... ... cm m x m x x m m + + = + +
với các phương trình tương tự cho các tọa độ y và z.
Động lượng trong các hệ quy chiếu khác nhau
Chuyển động tuyệt đối được cho là không thể phát hiện được, tức là các định luật vật lắ được cho là có giá trị như nhau trong mọi hệ quy chiếu quán tắnh. Nếu ban đầu chúng ta tắnh động lượng trong một hệ quy chiếu và tìm thấy động lượng được bảo tồn, rồi sau đó giải lại bài toán trong một số hệ quy chiếu khác đang chuyển động so với hệ thứ nhất, thì các giá trị số của động lượng sẽ khác hoàn toàn. Cho dẫu vậy, động lượng sẽ vẫn được bảo toàn. Vấn đề là ở chỗ chúng ta giải một bài toán trong một hệ quy chiếu thắch hợp.
Một cách chứng minh điều này là áp dụng phương trình ptp = mtpvcm. Nếu vận tốc của hệ B tương đối so với hệ A là vBA, thì kết quả duy nhất của sự thay đổi hệ quy chiếu là biến đổi vcm từ giá trị ban đầu của nó sang vcm + vBA. Phép toán này cộng một hằng số vào vec-tơ
động lượng, nó khơng có ảnh hưởng lên sự bảo tồn động lượng.
Hệ quy chiếu khối tâm
Một hệ quy chiếu đặc biệt hữu dụng trong nhiều trường hợp là hệ quy chiếu chuyển động cùng với khối tâm, gọi là hệ quy chiếu khối tâm (cm). Trong hệ quy chiếu này, tổng động lượng là bằng không. Các thắ dụ sau đây cho thấy làm thế nào hệ quy chiếu khối tâm có thể là một cơng cụ đầy sức mạnh cho sự đơn giản hóa các hiểu biết của chúng ta về các va chạm.
Vắ dụ 11. Va chạm của các quả bóng bi-a nhìn trong hệ quy chiếu khối tâm
Nếu bạn cử động đầu của bạn sao cho mắt của bạn luôn luôn ở phắa trên điểm nửa đường giữa hai quả bi-a, thì bạn đang nhìn các thứ trong hệ quy chiếu khối tâm. Trong hệ quy chiếu này, các quả bi-a tiến về khối tâm ở tốc độ không đổi. Do đối xứng, chúng phải bật trở lại ở tốc độ bằng nhau dọc theo đường mà chúng đã đi vào. Vì các quả bi-a về cơ bản có quỹ đạo tráo đổi trong hệ quy chiếu khối tâm, nên điều tương tự cũng phải đúng trong hệ quy chiếu bất kì. Đây cũng là kết quả yêu cầu tắnh toán đại số vất vả để chứng minh trước đây mà không cần đến khái niệm hệ quy chiếu khối tâm.
Vắ dụ 12. Hiệu ứng súng cao su
Đúng là một thực tế phản trực giác khi mà một phi thuyền có thể thu tốc độ bằng cách lượn xung quanh một hành tinh, nếu nó đi vào ở hướng ngược lại với hướng chuyển động của hành tinh. Mặc dù khơng có tiếp xúc vật lắ nào, nhưng chúng ta xem cuộc chạm trán đó là một va chạm một chiều, và phân tắch nó trong hệ quy chiếu khối tâm. Hình i cho thấy một Ộva chạmỢ kiểu như thế, với một tàu thám hiểu vũ trụ bay xung quanh Mộc tinh. Trong hệ quy chiếu của Mặt trời, Mộc tinh đang chuyển động.
h/ Cử động đầu của bạn sao cho bạn ln nhìn xuống từ nơi thắch hợp phắa trên khối tâm, bạn thấy va chạm của hai quả bóng khúc cơn cầu trong hệ quy chiếu khối tâm.
i/ Hiệu ứng súng cao su nhìn trong hệ quy chiếu của Mặt trời. Mộc tinh đang chuyển động sang bên trái, và va chạm là trực diện.
68 ẹ hiepkhachquay dịch | Bài giảng Các định luật bảo tồn Cịn trong hệ quy chiếu khối tâm thì sao ? Vì Mộc tinh nặng hơn phi thuyền rất nhiều, cho nên khối tâm về cơ bản nằm cố định tại tâm của Mộc tinh, và Mộc tinh có vận tốc bằng không trong hệ quy chiếu khối tâm, như biểu diễn trong hình j. Hệ quy chiếu khối tâm đang chuyển động sang bên trái so với hệ quy chiếu gắn với Mặt trời sử dụng trong hình i, nên vận tốc ban đầu của phi thuyền là lớn hơn trong hệ quy chiếu này.
Mọi thứ đơn giản hơn trong hệ quy chiếu khối tâm, vì nó đối xứng hơn. Trong hệ quy chiếu gắn với Mặt trời phức tạp, đoạn đi vào của sự chạm trán thật nhanh, vì hai vật đang tiến về phắa nhau, cịn sự chia tách của chúng ở đoạn ra thì từ từ hơn, vì Mộc tinh đang cố đuổi theo. Trong hệ quy chiếu khối tâm, Mộc tinh vẫn nằm yên và phải có một sự đối xứng hồn hảo giữa các đoạn đi vào và đi ra, nên theo đối xứng chúng ta có v1f = - v1i. Trở lại hệ quy chiếu gắn với Mặt trời, vận tốc cuối cùng của phi thuyền tăng lên bởi chuyển động tương đối của các hệ so với nhau. Trong hệ quy chiếu gắn với Mặt trời, vận tốc của phi thuyền tăng lên đáng kể.
j/ Hiệu ứng súng cao su nhìn trong hệ quy chiếu khối tâm của hệ Mộc tinh- phi thuyền.
Kết quả cũng có thể hiểu theo quan điểm cơng và năng lượng. Trong hệ quy chiếu của Mộc tinh, Mộc tinh không thực hiện công nào lên phi thuyền khi nó quay xung quanh hành tinh, vì chuyển động vng góc với lực. Nhưng trong hệ quy chiếu của Mặt trời, vec-tơ vận tốc của phi thuyền tại thời điểm trên có một thành phần lớn hướng sang trái, vì thế Mộc tinh đang thực hiện cơng lên nó. (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
☺ A. Cho một vắ dụ bằng số của hai khối lượng không bằng nhau đang chuyển động trong không gian một chiều ở vận tốc khơng đổi, và xác nhận phương trình ptp = mtpvcm trong khoảng thời gian một giây.
B. Cái vợt tennis hoặc bóng bàn càng nặng làm cho quả bóng bay đi càng nhanh. Giải thắch tại sao điều này đúng, sử dụng hệ quy chiếu khối tâm. Cho đơn giản, giả sử cái vợt vẫn nằm yên trước khi va chạm, và tay của người chơi khơng tác dụng bất kì lực nào đủ lớn để có tác động đáng kể trong khoảng thời gian ngắn của vụ va chạm.