* Khái niệm quá trình ngẫu nhiên
Đối tượng nghiêm cứu của quá trình ngẫu nhiên là họ vơ hạn các biến ngẫu nhiên phụ thuộc tham số t ∈ T nào đĩ.
Giả sử T là tập vơ hạn nào đĩ. Nếu với mỗi t ∈ T, Xt là biến ngãu nhiên thì ta kí hiệu X= {Xt, t ∈ T} và gọi X là hàm ngẫu nhiên với tham số t ∈ T.
- Nếu T là tập đếm được thì ta gọi X= {Xt, t ∈ T} là quá trình ngẫu nhiên với
tham số rời rạc.
- Nếu T=N thì ta gọi X= {Xt, t ∈ T} là dãy các biến ngẫu nhiên một phía. - Nếu T= Z thì ta gọi X= {Xt, t ∈ T} là dãy các biến ngẫu nhiên hao phía - Nếu T là một khoảng của đường thẳng thực thì ta gọi X là quá trình ngẫu nhiên với tham số liên tục, t đĩng vai trị thời gian liên tục.
Quá trình ngẫu nhiên thường cĩ dạng sau.
{ , ∈ }, ={ , ∈[0,+∞]}, ={ , ∈[ ]0,1}
= X n N X X t X X t
X n t t
Xét một loại cổ phiếu bất kỳ trên thị trường. St : giá cổ phiếu tại thời điểm t.
{ }St là quá trình ngẫu nhiên trong ( (Ω, ,P F) .
Ft là bộ lọc bao gồm giá của cổ phiếu tính đến thời điểm t
Thơng thường F bao gồm các thơng tin mà nhà đầu tư trên thị trường cĩ thể chấp nhận được.
Quỹ đạo của { }St là quỹ đạo giá của cổ phiếu. Do đĩ động thái của giá cổ phiếu là quá trình diễn biến theo thời gian của giá cổ phiếu.
Xét quá trình giá cổ phiếu { }St với t là rời rạc khi đĩ quá trình giá cổ phiếu cĩ một số đặc điểm sau.
- Biến động giá tại một thời điểm cĩ liên hệ chặt chẽ với những biến động nhiều kỳ trước đĩ.
- Do các cú sốc hoặc do ngẫu nhiên sau khoảng thời gian biến động khơng ngừng, nhờ sự điều chỉnh quan hệ cung - cầu, các quá trình giá cĩ xu hướng vận động về mức cân bằng dài hạn.
- Xét về dài hạn quá trình giá St cĩ xu hướng tăng do cĩ sự tăng trưởng của cổ tức và thu nhập. Nếu xét trong khoảng thời gian dài hơn thì mức độ biến động trong giá sẽ lớn hơn tức là ∆St tăng theo ∆t.
- Với mỗi mức giá được cập nhật ở từng thời điểm (thị giá) quỹ đạo giá là đường gấp khúc liên tục
- Quỹ đạo giá khơng cắt trục hồnh
- Tại một thời điểm bất kỳ trên trục thời gian thì khi đĩ St trở thành biến ngẫu nhiên, cĩ xu hướng biến động quanh mức giá cân bằng dài hạn 0
TB t
S >S .
Khoảng chêng lệch giữa S0 và TB t
S càng ngày càng lớn nếu t càng lớn tức là càng đi xa. Khi đĩ khoảng cách giữa hai quỹ đạo giá sẽ tăng theo t
3.2.3 Quá trình ngẫu nhiên phục hồi trung bình
Cho S(t) là giá của tài sản tại thời điểm t
Dưới tác động của các yếu tố đặc biệt là các yếu tố ngẫu nhiên, S(t) là quá trình ngẫu nhiên. Quá trình giá cả với những đặc điểm nêu trên cĩ thể mơ hình hố bằng quá trình ngẫu nhiên phục hồi trung bình. Động thái của quá trình được mơ tả bởi phương trình vi phân ngẫu nhiên cĩ dạng.
Với α : Tốc độ phục hồi .
µ : giá trị trung bình
σ : Độ giao động của quá trình .
Mức giá S(t) cĩ xu hướng biến động quay về mức giá cân bằng dài hạn S e= µ
với tốc độ α .
Khoảng thời gian cần thiết để mức giá hiện thời S(t) dao động về mức giá nằm giữa S(t) và mức giá cân bằng S là chỉ tiêu bán thời gian H.
H= Ln(2)/α Đặt Ln S(t) = x(t) và sử dụng cơng thức Ito, từ (1) ta cĩ : dx(t) = α (m-x(t))dt + σ dw (2) với m = µ- 2 2 σ α (3)
Sử dụng các phép tính ngẫu nhiên để giải phương trình (2) ta cĩ các kết quả
- ( ) [1 xp( ( 0] ( )0 [ xp( ( 0)] ( ) ( ) ( )
o
t
t
x t =m −E −α t t− +x t E −α t t− +σExp −αt Exp∫ αu dw u (4) - Phân bố của x(t) với điều kiện x(t0) là phân bố chuẩn với kỳ vọng và phương sai : [ ] [ ] [ ] 0 0 0 0 2 0 0 ( ) 1 xp( ( )) ( ) ( ( ) ( ) ( ) 1 xp( 2 ( )) ( ) 2 x t E m E t t x t Exp t t x t x t Var E t t x t α α σ α α = − − − + − − = − − − (5)
Cho t0 =1, khi đĩ dạng rời rạc của (4) sẽ là :
Với 0 ( ) 1 1 xp( ) xp( ) 1 m E E β α β α = − − = − − (7)
Sai số ngẫu nhiên εt là nhiễu trắng với : 2 2(1 xp( 2 )) 2 E ε σ α σ α − − = (8)
Theo (6) dạng rời rạc của quá trình x(t) chính là quá trình AR(1). Từ (7) ta cĩ : α = −ln(1+β1) , m= - β0/ β1 , H= - Ln2/ Ln(1+ β1) (9)
Thay αtừ (9) vào (8) ta được :
2 1 2 2 1 2 (1 ) (1 ) 1 Ln ε β σ σ β + = + − (10 )
Thay (9), (10) vào (3) ta sẽ tính đượcµ.
Trên cơ sở xác định được các hệ số của mơ hình ta sẽ xác định được trạng thái dao động của cổ phiếu cũng như mức giá cân bằng dài hạn từ đĩ dự báo được xu thế biến động của nĩ trong tương lai.
3.3 Áp dụng hai mơ hình vào việc định giá một số cổ phiếu trên thị trường trường
Trong phạm vi chuyên đề của mình, tác giả sẽ sử dụng chuỗi số liệu của 5 cổ phiếu trên thị trường chứng khốn Việt Nam làm cơ sở phân tích đĩ là: BBC, GIL, TMS, VTC, TRI, với số liệu là giá của các chứng khốn từ cuối năm 2001 đến ngày 1/9/2006 thời điểm giá cổ phiếu biến động tương đối ổn định.
3.3.1 Phân tích đặc điểm chuỗi lợi suất của cổ phiếu
Chuỗi lợi suất của các cổ phiếu được tính theo cơng thức : Rit=ln ( ) ) 1 (t− i it S S t ≥1 ∀i=1,2,....,n
Trong đĩ :
Rit : Lợi suất của cổ phiếu i từ thời điểm t-1 đến thời điểm t Sit : Giá của cổ phiếu i tại thời điểm t
Si(t-1) : Giá của cổ phiếu i tại thời điểm t-1.
Lợi suất của mỗi cổ phiếu phản ánh sự biến động cũng như vị thế của chúng trên sàn giao dịch. Các nhà đầu tư dựa vào lợi suất của các cổ phiếu để đưa ra quyết định đầu tư của mình. Vì vậy thơng qua việc phân tích chuỗi lợi suất ta cĩ thể thấy được động thái của giá chứng khốn. Thơng qua việc sử dụng các mơ hình kinh tế lượng từ đĩ giúp ta cĩ cái nhìn tổng quát về xu hướng biến động của mỗi cổ phiếu.
Sau đây em sử dụng chuỗi số lợi suất của cổ phiếu GIL để phân tích, các cổ phiếu khác làm tương tự.
Ta xem mức dao động trong lợi suất trong các phiên cĩ phụ thuộc vào sự thay đổi của lợi suất trong quá khứ hay khơng . Sau đây ta sẽ sử dụng các mơ hình ARCH, GARCH , TGARCH, GARCH-M, COMPONENT GARCH để xem xét giả thiết này .
* Mơ hình ARCH : Kiểm định sự thay đổi trong lợi suất và trong dao động của cổ phiếu GIL :
Dựa vào lược đồ tương quan ta thấy δ66#0,chuỗi GIL ban đầu đã dừng, nên ta cĩ quá trình ARIMA(6,0,0)
Ước lượng mơ hình ARCH(1) ta được :
Dependent Variable: RGIL Method: ML - ARCH (Marquardt) Date: 11/18/06 Time: 15:41
Included observations: 1135 after adjusting endpoints Convergence not achieved after 500 iterations Variance backcast: ON
Coefficient Std. Error z-Statistic Prob. C -0.000128 0.001000 -0.127783 0.8983 AR(6) 0.087669 0.036603 2.395129 0.0166
Variance Equation
C 0.000421 2.50E-06 168.2742 0.0000 ARCH(1) 0.242018 0.060124 4.025279 0.0001 R-squared 0.008530 Mean dependent var 0.000194 Adjusted R-squared 0.005900 S.D. dependent var 0.022766 S.E. of regression 0.022699 Akaike info criterion -4.779343 Sum squared resid 0.582729 Schwarz criterion -4.761601 Log likelihood 2716.277 F-statistic 3.243382 Durbin-Watson stat 1.934899 Prob(F-statistic) 0.021366 Inverted AR Roots .67 .33 -.58i .33+.58i -.33 -.58i
-.33+.58i -.67
Ta thấy p-value của hệ số c bằng 0.8983> 0.05, nên cĩ thể bỏ hệ số chặn ra khỏi mơ hình. Ước lượng lại ta được.
Dependent Variable: RGIL Method: ML - ARCH (Marquardt) Date: 11/18/06 Time: 15:57 Sample(adjusted): 8 1142
Included observations: 1135 after adjusting endpoints Convergence not achieved after 500 iterations Variance backcast: ON
Coefficient Std. Error z-Statistic Prob. AR(6) 0.087652 0.036551 2.398038 0.0165
Variance Equation
C 0.000421 1.72E-06 245.3158 0.0000
ARCH(1) 0.241600 0.059840 4.037429 0.0001 R-squared 0.008639 Mean dependent var 0.000194 Adjusted R-squared 0.006887 S.D. dependent var 0.022766 S.E. of regression 0.022687 Akaike info criterion -4.781074 Sum squared resid 0.582665 Schwarz criterion -4.767767 Log likelihood 2716.260 Durbin-Watson stat 1.935108 Inverted AR Roots .67 .33 -.58i .33+.58i -.33 -.58i
-.33+.58i -.67
Ta thấy lợi suất trung bình của cổ phiếu GIL phụ thuộc vào lợi suất trung bình của nĩ tại các phiên khác. Rủi ro của cổ phiếu GIL chịu ảnh hưởng của các yếu tố ngẫu nhiên, hệ số của ARCH là dương thực sự. Nhưng ta chỉ nhận biết được ảnh hưởng dương đến phương sai mặc dù trên thực tế cĩ cả những cú sốc âm dương.
Ta cĩ mơ hình : RGIL = 0.087652 *RGIL-1
σ 2
GIL = 0.000421 + 0.241600*ε 2GIL
* Mơ hình GARCH Mơ hình :
điều kiện : 2 2 2 0 1 1 0 max( , ) 1 0 , 0 ( ) 1 t t t t t t m s t i t i j t j i j i j m s i i i r u u u µ σ ε σ α α β σ α α β α β − − = = = = + = = + + > > + < ∑ ∑ ∑
Ước lượng mơ hình GARCH(1,1) ta thu được kết quả sau :
Dependent Variable: RGIL Method: ML - ARCH (Marquardt) Date: 11/20/06 Time: 22:32 Sample(adjusted): 8 1142
Included observations: 1135 after adjusting endpoints Convergence achieved after 251 iterations
Variance backcast: ON
Coefficient Std. Error z-Statistic Prob. AR(6) 0.072930 0.031854 2.289483 0.0221
Variance Equation
C 3.13E-05 3.20E-06 9.796384 0.0000 ARCH(1) 0.877924 0.081415 10.78338 0.0000 GARCH(1) 0.588939 0.027145 21.69615 0.0000 R-squared 0.008243 Mean dependent var 0.000194 Adjusted R-squared 0.005612 S.D. dependent var 0.022766 S.E. of regression 0.022702 Akaike info criterion -4.896861 Sum squared resid 0.582898 Schwarz criterion -4.879119 Log likelihood 2782.969 Durbin-Watson stat 1.932468 Inverted AR Roots .65 .32+.56i .32 -.56i -.32 -.56i
Kết quả ước lượng ta thấy tổng hệ số của ARCH(1) và GARCH(1) bằng :0.877924 +0.588939 >1, do đĩ lợi suất trung bình của cổ phiếu GIL chỉ phụ thuộc vào lợi suất trung bình tại phiên trước mà khơng chịu ảnh hưởng của sự dao động của sự thay đổi này.
+> Kiểm định xem cĩ tồn tại mơ hình I-GARCH Kiểm định giả thiết Ho : c(3)+ c(4) = 1
H1 : c(3) + c(4) ≠ 1 Ta thu được kết quả :
Wald Test:
Equation: MOHINHKTL Null Hypothesis: C(3)+C(4)=1
F-statistic 71.59468 Probability 0.000000 Chi-square 71.59468 Probability 0.000000
Do giá trị p-value của cả 2 kiểm đinh F và khi bình phương đều <0.05, nên bác bỏ giả thiết Ho, nên khơng tồn tại mơ hình I-GARCH.
* Mơ hình GARCH – M
Mơ hình nghiên cứu sự phụ thuộc của lợi suất của cổ phiếu vào độ rủi ro của nĩ .
+> Mơ hình 1 : Lợi suất phụ thuộc vào độ lệch chuẩn
Dependent Variable: RGIL Method: ML - ARCH (Marquardt) Date: 11/20/06 Time: 23:06 Sample(adjusted): 8 1142
Convergence not achieved after 500 iterations Variance backcast: ON
Coefficient Std. Error z-Statistic Prob. SQR(GARCH) 0.000624 0.043914 0.014207 0.9887 AR(6) 0.087661 0.036551 2.398341 0.0165
Variance Equation
C 0.000421 2.33E-06 180.6715 0.0000 ARCH(1) 0.240734 0.059678 4.033899 0.0001 R-squared 0.008675 Mean dependent var 0.000194 Adjusted R-squared 0.006046 S.D. dependent var 0.022766 S.E. of regression 0.022697 Akaike info criterion -4.779132 Sum squared resid 0.582643 Schwarz criterion -4.761390 Log likelihood 2716.157 Durbin-Watson stat 1.934952 Inverted AR Roots .67 .33 -.58i .33+.58i -.33 -.58i
-.33+.58i -.67
Theo mơ hình ta cĩ : RGIL = 0.087661* RGIL-6 + 0.000624* σGIL
σ 2
GIL = 0.000421 + 0.240734*ε 2 GIL-1
+> Mơ hình 2 : Lợi suất phụ thuộc vào phương sai
Dependent Variable: RGIL Method: ML - ARCH (Marquardt) Date: 11/20/06 Time: 23:25 Sample(adjusted): 8 1142
Included observations: 1135 after adjusting endpoints Convergence not achieved after 500 iterations Variance backcast: ON
GARCH 0.088672 1.753981 0.050555 0.9597 AR(6) 0.087715 0.036463 2.405559 0.0161
Variance Equation
C 0.000421 2.13E-06 197.1477 0.0000 ARCH(1) 0.240766 0.059743 4.030016 0.0001 R-squared 0.009375 Mean dependent var 0.000194 Adjusted R-squared 0.006747 S.D. dependent var 0.022766 S.E. of regression 0.022689 Akaike info criterion -4.779136 Sum squared resid 0.582232 Schwarz criterion -4.761394 Log likelihood 2716.160 Durbin-Watson stat 1.928801 Inverted AR Roots .67 .33 -.58i .33+.58i -.33 -.58i
-.33+.58i -.67
Ta cĩ mơ hình : RGIL = 0.087715* RGIL-6 + 0.088672* σ 2 GIL
σ 2
GIL = 0.000421+ 0.240734*ε2 GIL-1
Dựa vào 2 mơ hình ước lượng ta thấy hệ số của phương sai và độ lệch chuẩn đều dương do đĩ cĩ thể kết luận lợi suất của cổ phiếu GIL cĩ liên hệ tỷ lệ thuận với rủi ro của nĩ tức là rủi ro càng cao thì lợi suất kỳ vọng cũng càng lớn.
Ta thấy giá trị p-value của SQR(GARCH) và GARCH ở 2 mơ hình đều >0.05, như vậy lợi suất của cổ phiếu GIL khơng phụ thuộc vào độ rủi ro của cổ phiếu này.
* Mơ hình T- GARCH Mơ hình cĩ dạng :
0 : 0 1: 0 t t t t t t t t t r u u u d u µ σ ε = + = ≥ = < εt ~ I ID t 1:0 : t 00 t u d u ≥ = < 2 2 2 2 0 1 1 1 1 t ut u dt t t σ =α α+ − +γ − − +βσ −
Ước lượng mơ hình ta được :
Dependent Variable: RGIL Method: ML - ARCH (Marquardt) Date: 11/20/06 Time: 23:41 Sample(adjusted): 8 1142
Included observations: 1135 after adjusting endpoints Convergence not achieved after 500 iterations Variance backcast: ON
Coefficient Std. Error z-Statistic Prob. AR(6) 0.088357 0.036575 2.415771 0.0157
Variance Equation
C 0.000420 1.71E-06 245.4998 0.0000 ARCH(1) 0.220143 0.084324 2.610672 0.0090 (RESID<0)*ARCH(1) 0.043876 0.121320 0.361651 0.7176 R-squared 0.008647 Mean dependent var 0.000194 Adjusted R-squared 0.006017 S.D. dependent var 0.022766 S.E. of regression 0.022697 Akaike info criterion -4.779523 Sum squared resid 0.582660 Schwarz criterion -4.761781 Log likelihood 2716.380 Durbin-Watson stat 1.935235
Inverted AR Roots .67 .33+.58i .33 -.58i -.33 -.58i -.33+.58i -.67 Ta cĩ : 2 2 2 1 1 1 0.000420 0.220143 0.043876 t ut u dt t σ = + − + − −
Tổng ảnh hưởng của các yếu tố ngẫu nhiên đến rủi ro của cổ phiếu bắng :
0.220143 +0.043876=0.264019
Ta thấy giá trị p-value của biến (RESID<0)*ARCH(1) bằng 0.7176 > 0.05 nên cĩ thể kết luận rằng ảnh hưởng của các cú sốc âm lên giá cổ phiếu là khơng đáng kể hay khơng cĩ biểu hiện của hiệu ứng địn bẩy đối với giá cổ phiếu.
* Mơ hình E – GARCH Mơ hình cĩ dạng : 2 2 1 1 0 1 1 1 ln ln t t t t t t u u σ α β σ α γ σ− σ− − − − = + + +
Dependent Variable: RGIL Method: ML - ARCH (Marquardt) Date: 11/21/06 Time: 00:14 Sample(adjusted): 8 1142
Included observations: 1135 after adjusting endpoints Convergence not achieved after 500 iterations Variance backcast: ON
Coefficient Std. Error z-Statistic Prob. AR(6) 0.085594 0.035796 2.391176 0.0168 Variance Equation C -7.707364 0.004499 -1713.019 0.0000 |RES|/SQR[GARCH] (1) 0.213726 0.050906 4.198432 0.0000
R-squared 0.008609 Mean dependent var 0.000194 Adjusted R-squared 0.005980 S.D. dependent var 0.022766 S.E. of regression 0.022698 Akaike info criterion -4.749616 Sum squared resid 0.582682 Schwarz criterion -4.731873 Log likelihood 2699.407 Durbin-Watson stat 1.934740 Inverted AR Roots .66 .33 -.57i .33+.57i -.33 -.57i
-.33+.57i -.66
Ta thấy p-value của hệ số 1 1 t t u σ−−
>0.05, nên ảnh hưởng của cú sốc âm và
dương đến phương sai là như nhau, khơng cĩ ảnh hưởng bất đối xứng * Mơ hình Component
Đo độ chênh lệch giữa phương sai cĩ điều kiện và phương sai khơng cĩ điều kiện hay chênh lệch rủi ro trong ngắn hạn và dài hạn.
Mơ hình cĩ dạng : 2 2 2 1 1 2 2 1 1 1 ( ) ( ) ( ) ( ) t t t t t t t t q q q σ ω α ε ω β σ ω ω δ ω φ ε σ − − − − − − = + − + − = + − + −
qt : phương trình phương sai trong dài hạn :
Dependent Variable: RGIL Method: ML - ARCH (Marquardt) Date: 11/21/06 Time: 00:32 Sample(adjusted): 8 1142
Included observations: 1135 after adjusting endpoints