toán đặt không chỉnh
1.2.1 Bài toán kích thước lớn
Nhiều bài toán của khoa học, công nghệ, kinh tế, sinh thái, vv... đưa về hệ phương trình vi phân thường, phương trình đạo hàm riêng và phương trình tích phân. Bằng phương pháp rời rạc hóa, trong đó tích phân được thay bởi các tổng hữu hạn nhờ công thức cầu phương, toán tử vi phân được thay bằng các toán tử sai phân, chúng ta quy bài toán giải phương trình trong không gian hàm về giải hệ phương trình đại số tuyến tính hoặc phi tuyến. Kích thước của các hệ phương trình này thường rất lớn do ta sử dụng các bước lưới nhỏ để tăng độ chính xác của các công thức cầu phương hoặc của các lược đồ sai phân. Sau đây là một số ví dụ cụ thể.
Ảnh ba chiều xuất hiện trong một số ứng dụng của khoa học và công nghệ, như sử dụng kính hiển vi tiêu cự chập (confocal microscopy), xử lý ảnh y-sinh học (biomedical imaging), vv... Hiện tượng một ảnh bị mờ trong quá trình xử lý được mô tả bởi phương trình tích chập:
Z
R3
h(ξ−ξ0,η−η0,γ−γ0)f(ξ0,η0,γ0)dξ0dη0dγ0=g(ξ,η,γ), (1.1) trong đó f biểu diễn ảnh rõ, còn gbiểu diễn ảnh bị làm mờ. Nhân hlà một hàm trơn, được gọi là hàm trải điểm (point-spread funtion). Bài toán tìm hàm f biết hvà g bằng cách giải phương trình tích chập (1.1) là bài toán đặt không chỉnh, vì nghiệm f nếu tồn tại cũng không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu g.
Giả sử các hàm f,g triệt tiêu ngoài hình hộp đơn vị Ω⊂R3. Sử dụng lưới đều với bước1/m để rời rạc hóa phương trình (1.1) ta thu được hệ phương trình sau:
Ax=b, A∈Rm3×m3, x,b∈Rm3, (1.2)
trong đó các véctơ x và b là rời rạc hóa của các hàm f và g tương ứng và chứa cấp độ xám của các điểm ảnh được xếp theo thứ tự từ điển. Ma trận Alà rời rạc hóa của toán tử tích phân trong (1.1), xác định bởi hàm trải điểmhvà công thức cầu phương để tính gần đúng tích phân. Ma trận A có nhiều giá trị kỳ dị gần không với những thang bậc khác nhau, bởi vậy nó quá điều kiện xấu (severely ill-conditioned) và có thể suy biến. Mặt khác trong thực tế, vế phảib chỉ được cho với sai số, tức là thay vì chobta chỉ biết véctơb˜ :=b+d, trong đódlà véctơ nhiễu với các thành phần chứa sai số đo đạc và sai số truyền ảnh.
Hệ (1.2) thông thường là một hệ kích thước rất lớn. Ví dụ với ảnh xám 3 chiều cóm=100, còn cấp độ xám của ảnh là một số nguyên nằm trong khoảng
[0,255] thì ma trận của hệ (1.2) đã có kích thước106×106.
Ví dụ 2.Giải gần đúng hệ phương trình tích phân bằng phương pháp trùng khớp. Xét hệ phương trình tích phân loại 1
b
Z
a
Ki(t,s)x(s)ds= fi(t) i=1,2, . . . ,N, (1.3) trong đóKi(t,s)và fi(t)tương ứng là các nhân và hàm liên tục cho trước.
Xét công thức cầu phương
b R a h(t)dt= M ∑ l=0 γlh(tl) +r,trong đóa≤t0<t1< . . . < tM ≤blà các điểm lưới,γ0, . . . ,γM là các trọng số và rlà sai số của công thức cầu phương. Đặtxil:=xi(tl), fij:= fi(tj),áp dụng phương pháp trùng khớp (collocation
method) cho hệ (1.3) và sử dụng công thức cầu phương nói trên chúng ta nhận được hệN(M+1)phương trình tuyến tính với M+1ẩn.
M
∑
l=0
γlKi(tj,tl)xil = fij j =0,1, . . . ,M,i=1,2, . . . ,N, (1.4) NếuM lớn thì hệ phương trình (1.4) thu được có kích thước lớn và quá xác định.
Ví dụ 3. Bài toán biên cho phương trình vi phân thường và phương trình đạo hàm riêng.
Để đơn giản chúng ta xét bài toán biên hai điểm cho phương trình vi phân thường
f(t,x,x0,x00) =0, t0<t <T, g(x(t0),x0(t0)) =0, h(x(T),x0(T)) =0. Thay đạo hàm cấp 1 và cấp 2 bằng các tỷ sai phân tương ứng, ta đưa bài toán biên hai điểm trên về hệ 3 đường chéo các phương trình phi tuyến có dạng
F1(x1,x2) =y1, Fi(xi−1,xi,xi+1) =yi, i=2, . . . ,N−1 FN(xN−1,xN) =yN. (1.5) Hệ (1.5) là thưa và kích thước lớn.
Tương tự như vậy, việc giải bài toán biên hai điểm bằng phương pháp bắn bội (multiple shooting method) dẫn đến hệ phương trình phi tuyến kích thước lớn. Vấn đề này sẽ được trình bày kĩ hơn khi đề cập đến bài toán điều kiện xấu. Trong mục 2.4 chúng ta sẽ đưa bài toán biên cho phương trình đạo hàm riêng- đại số tuyến tính về hai hệ phương trình kích thước lớn.
Ví dụ 4.Mô hình thương mại quốc tế [57]
Giả sử có mnướcCi, i=1, . . . ,mbuôn bán với nhau. Mỗi nướcCi sản xuất ni mặt hàng quốc nội trong nhóm hàng Gi chỉ để tiêu thụ trong nước. Ngoài ra cón0 mặt hàng quốc tế trong nhóm hàngG0được các nước cùng sản xuất và tiêu thụ. Gọi n= ∑mi=0ni là số hàng hóa tiêu thụ trên thị trường nội địa và quốc tế. Mỗi nước đều có nhu cầu sản xuất và tiêu thụ cho các mặt hàng quốc nội, quốc tế của mình. Nhu cầu của thị trường đối với các mặt hàng quốc nội trong nhóm Gi bằng tổng các nhu cầu trong mỗi nướcCi, còn nhu cầu đối với hàng quốc tế thì bằng tổng các yêu cầu của các nước. Gọix∈Rn\{0}là véctơ giá của các mặt
hàng. Khi đó ta sẽ biểu diễn véctơ giáx= (x0,x1, . . . ,xm),vớixi∈Rni
+ là các véctơ giá của các mặt hàng trong nhómGi.
ĐặtF:Rn+\{0} →Rnlà toàn thể lượng cầu vượt cung, thìF(.) = (F0(.), . . . ,Fm(.))
còn Fi(x) =Fi(x0,xi), i=1, . . . ,m là toàn thể lượng cầu vượt cung của nước Ci
đối với véctơ giá x. Lưu ý rằng F0(x) =F0(x0, . . . ,xm) vì nhóm hàng quốc tế G0 bao gồm tất cả hàng quốc tế của các nước.
Bài toán cân bằng là tìm véctơ giá x∗= (x∗0, . . . ,x∗m)∈Rn để thị trường sạch, nghĩa làF(x∗) =0.
Như vậy ta thu được hệ phương trình phi tuyến kích thước lớn F0(x0, . . . ,xm) =0, Fi(x0,xi) =0, i=1, . . . ,m. (1.6)