Hệ phi tuyến dưới xác định xuất hiện trong một số bài toán như bài toán bù phi tuyến, bài toán tìm điểm trong của các đa diện, xử lý ảnh,...
Chúng ta xét một hệ phi tuyến dưới xác định
Fi(x1, . . . ,xm) =yi, i=1, . . . ,N, (3.25) vớiFi:Rm →RvàmN.
Trước tiên ta viết lại phương trình (3.11) như sau xδ n+1,i=x0i + (Fi0(xδ n)∗Fi0(xδ n) +βnI)−1Fi0(xδ n)∗ yδ i −Fi(xδ n)−Fi0(xδ n)(x0i −xδ n), (3.26) vớiFi0(x) =∂Fi/∂x1, ...,∂Fi/∂xm, (i=1, . . . ,N)là các véctơ hàng. Do (Fi0(xδn)∗Fi0(xδn) +βnIX)−1Fi0(xδn)∗=Fi0(xδn)∗(Fi0(xδn)Fi0(xδn)∗+βnIYi)−1,
vớiIX vàIYi là các toán tử đơn vị trong các không gianX vàYi tương ứng, ta có xδ n+1,i=x0i +Fi0(xδ n)∗(Fi0(xδ n)Fi0(xδ n)∗+βnIYi)−1 yδ i −Fi(xδ n)−Fi0(xδ n)(x0i −xδ n). (3.27) Dễ thấy (Fi0(xδ n)Fi0(xδ n)∗+βnIYi −1 =kFi0(xδ
nk2+βn. Vì vậy, ta có thể viết lại biểu thức (3.11) như sau
xδ n+1,i=x0i +F 0 i(xδ n)T(yδ i −Fi(xδ n)−Fi0(xδ n)(x0i −xδ n)) kFi0(xδ n)k2+βn , i=1, . . . ,N, (3.28) trong đó ký hiệu T là ký hiệu chuyển vị của ma trận hoặc của véctơ và chuẩn được sử dụng là chuẩn Euclid. Xấp xỉ xδ
n+1 tiếp theo được định nghĩa như trên bởi (3.12).
Sử dụng ký hiệu F = (F1, . . . ,FN)T, yδ = (yδ
1, . . . ,yδ
N)T, ta có F0(x)TF0(x) =
∑Ni=1Fi0(x)TFi0(x). Bằng cách lập luận tương tự như trong (3.26), ta có thể viết lại biểu thức (3.6) như sau
xδn+1=x0+F0(xδn)T F0(xδn)F0(xδn)T+αnIY
−1
yδ−F(xδn)−F0(xδn)(x0−xδn), (3.29) trong đóIY ký hiệu là ma trận đơn vị cấp N.
Mỗi bước lặp IRGNM (3.6) đòi hỏi nhiều thời gian để giải một hệ phương trình tuyến tínhm×mkhimkhá lớn. Tuy nhiên, sử dụng công thức (3.29) ta chỉ cần giải một hệ phương trình tuyến tính N×N, với N m. Trong khi đó, với PIRGNM, tất cả các thành phần trung gianxδ
n+1,i được tính toán song song theo công thức hiển (3.28).
Để đơn giản, trong các thực nghiệm, chúng tôi chọn m=105, N=64, x† = (1,0, . . . ,0)T, xδ0 = (0.5,0, . . . ,0)T,
kxδ
0−x†k=0.5vàαn=0.2×64×(0.5)n.
Trong tất cả các thử nghiệm số, ma trận [F0(x†)]T[F0(x†)]là ma trận suy biến, vì vậy phương pháp Newton và các biến thể song song của nó có thể không hội tụ, do đó phương pháp IRGNM nên được sử dụng. Tuy vậy, trong công thức (3.29) tại mỗi bước của IRGNM ta cần giải một hệ phương trình tuyến tính kích thước 64×64. Ngược lại, việc áp dụng phương pháp PIRGNM cho hệ phương trình (3.25) dẫn đến công thức tính toán đơn giản (3.28).
Chúng ta xét sai số tương đối (REN) của các phương pháp IRGNM và PIRGNM
REN:=kxδ
n −x†k/kx†k. Trong các ví dụ thử nghiệm số,kx†k=1và do đó REN=kxδ
n−x†k.
Dưới đây, ta sử dụng các ký hiệu sau:
Tp: Thời gian thực hiện phương pháp song song tính theo đơn vị giây trên pbộ xử lý.
Ts:Thời gian thực hiện phương pháp tuần tự tính theo đơn vị giây. Sp =Ts/Tp: Hệ số tăng tốc.
Ep= Spp :Hiệu quả của phương pháp song song sử dụng pbộ xử lý.
nmin : Số bước lặp nhỏ nhất khi sai số tương đối (REN) của phương pháp tương ứng nhỏ hơn một giá trị cho trước.
η: Một số cố định đủ nhỏ trong luật dừng (3.16).
Các thử nghiệm số được thực hiện trên bó máy tính IBM 1350 với 8 node tính toán. Mỗi node có 2 bộ xử lý lõi kép Intel Xeon 3.2 GHz, 2GBRam. Chương trình thử nghiệm được viết bằng ngôn ngữ lập trình C.
Trong ví dụ số đầu tiên, chúng tôi xét hệ phương trình Fk(x):=xTAkx+bTkx=yk, k=1,2, . . . ,N
trong đó các ma trận Ak cấpm với(2k−1)đường chéo và các phần tử được xác định như sau a(i jk)= 1 |i− j| ≤k−1, 0 còn lại.
Hơn nữa, véctơ bk = (8, . . . ,8,0, . . . ,0)T ∈ Rm, k= 1,2, . . . ,64 có k thành phần đầu bằng 8, các thành phần còn lại bằng 0. Cuối cùng, vế phảiyk =9+χk, với là các giá trị phân bố chuẩn với kỳ vọng bằng 0 và độ lệch chuẩn được chọn
sao chokχk ≤δ.
Trong trường hợp này, điều kiện nguồn (3.13) thỏa mãn với µ = 1 và các véctơ ban đầu:
x0k = (0.95,−0.05, . . . ,−0.05,0, . . . ,0)T, k=1, . . . ,64,
trong đó các phần tử −0.05 trong xk xuất hiện chính xác k−1lần. Hơn nữa các đạo hàmFi0(x)là liên tục Lipschitz.
Bảng 3.1 thể hiện sai số tương đối (RENs) và thời gian thực hiện của phương pháp PIRGNM và IRGNM trong chế độ tuần tự. Để giải hệ phương trình tuyến tính trong IRGNM ta sử dụng phương pháp Cholesky. Dữ liệu trong bảng chỉ ra rằng để đạt cùng một sai số cho trước, PIRGNM sử dụng ít thời gian hơn so với IRGNM.
Bảng 3.2 tìm chỉ số dừng trong phương pháp PIRGNM và xác minh kết luận của Định lý 3.6 rằngkxδ
n∗−x†k=O δ2/3, vớin∗=Nδ.
Cuối cùng, Bảng dữ liệu 3.3 đưa ra kết quả về hệ số tăng tốc cũng như hiệu quả của phương pháp PIRGNM trong chế độ song song.
Trong thử nghiệm số thứ hai, chúng tôi chọn
F0(x) =x12+x22+. . .+x2m+8x1, Fi(x) = m−i ∑ j=1 xjxj+i+10 i ∑ j=1 xj+9xi+1, i=1, . . . ,63.
Vế phảiy0 =9+χ0, yi=10+χi, i=1, . . . ,63 và các phần tử của χi là các giá trị có phân bố chuẩn với kỳ vọng bằng 0 và độ lệch chuẩn được chọn sao cho
kχk ≤δ.
Rõ ràng, trong trường hợp này điều kiện nguồn (3.2) thỏa mãn với số mũ µ =1và các dự đoán ban đầu:
x00= (0.5,0, . . . ,0)T, x0i = (0.5,−0.5, . . . ,−0.5,0, . . . ,0)T, i=1, . . . ,63, với−0.5trong x0i lặp lại chính xáci lần. Nhận xét rằng trong ví dụ này tất cả các đạo hàmFi0(x)là liên tục Lipschitz và các giá trị dự đoán ban đầu x0i không nhất thiết gần nghiệm chính xácx†.
Các Bảng dữ liệu 3.4, 3.5 trong ví dụ thực nghiệm 2 tương tự như các Bảng 3.1 và 3.2 tương ứng trong ví dụ 1.
Bảng 3.1: Sai số tương đối và thời gian thực hiện chương trình tuần tự vớiη =2.
δ REN IRGNM PIRGNM
nmin Ts nmin Ts 1e−4 11 27 4 6.21 e−6 e−5 15 36.92 8 12.43 1e−6 18 44.25 12 18.65 1e−4 11 27 4 6.21 e−7 e−5 15 36 8 12.43 1e−6 18 44.25 12 18.65
Bảng 3.2: Chỉ số dừng của phương pháp PIRGNM vớiη =0.02.m δ Nδ REN REN/δ2/3 m δ Nδ REN REN/δ2/3 e-5 3 1.68e-4 0.36 e-6 5 3.85e-5 0.38 105 e-7 8 6.37e-6 0.29 e-8 10 2.13e-6 0.45 e-9 12 7.4e-7 0.75
Bảng 3.3: Hiệu suất và tốc độ của phương pháp PIRGNMm Số bộ xử lý Tp Sp Ep m Số bộ xử lý Tp Sp Ep
1 18.65
100000 2 9.5 1.96 0.98
Bảng 3.4: Sai số tương đối và thời gian thực hiện chương trình tuần tự với
η =0.4
δ REN IRGNM PIRGNM
nmin Ts nmin Ts e−4 11 24 3 0.71 e−6 e−5 15 33 6 1.4 e−6 18 40 9 2.08 e−4 11 24 3 0.71 e−7 e−5 15 33 6 1.4 e−6 18 40 9 2.08
Bảng 3.5: Chỉ số dừng của phương pháp PIRGNM vớiη =0.02.m δ Nδ REN REN/δ2/3 m δ Nδ REN REN/δ2/3 e-5 3 4.5e-5 0.096 e-6 5 1.1e-5 0.112 105 e-7 8 1.4e-6 0.065 e-8 10 3.5e-7 0.07 e-9 12 8.6e-8 0.08