i. Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov trong không gian Hilbert
Giả sử X và Y là các không gian Hilbert và toán tử F trong phương trình (1.7) xác định trên toàn không gian X. Ta thay bài toán đặt không chỉnh (1.7) bằng một họ bài toán tìm cực tiểu phiếm hàm làm trơn Tikhonov
Tα,δ(x):=kF(x)−yδk2+αkx−x0k2−→minx∈X, (1.15)
trong đó α >0 là tham số hiệu chỉnh, x0 ∈X là phần tử cho trước cố định, còn yδ là dữ liệu có nhiễu của vế phải (1.7), sao cho ky−yδk ≤δ.
Liên quan đến bài toán cực tiểu hóa (1.15), người ta quan tâm đến 5 tính chất quan trọng sau đây:
1. Tồn tại:Với mỗi tham sốα >0cố định và mọiyδ ∈Y tồn tại duy nhất điểm
cực tiểuxα,δ của phiếm hàm Tikhonov Tα,δ(x).
2. Ổn định: Với mỗi α >0cố định, nghiệm hiệu chỉnh xα,δ phụ thuộc liên tục
vàoyδ.
3. Hội tụ:Có thể chọn tham số hiệu chỉnh α =α(δ)phụ thuộc vào mức sai số
δ sao cho nghiệm hiệu chỉnhxα,δ hội tụ về một nghiệm nào đó của (1.7) khi δ dần tới không (với giả thiết phương trình (1.7) có nghiệm).
4. Tốc độ hội tụ: Đánh giá khoảng cách giữa nghiệm hiệu chỉnh xα,δ và một
5. Ước lượng ổn định: Đánh giá khoảng cách giữa xα,δ và xα- là điểm cực tiểu của phiếm hàm (1.15), trong đóyδ được thay bởiy.
Hai tính chất 1 và 2 liên quan đến tính đặt chỉnh của bài toán biến phân (1.15). Tính chất 3 liên quan đến sự hội tụ của nghiệm bài toán đặt chỉnh tới nghiệm của bài toán đặt không chỉnh. Đánh giá tốc độ hội tụ của nghiệm hiệu chỉnh là nội dung của Tính chất 4. Tính chất 5 được sử dụng để thiết lập các tính chất 3 và 4.
Các điều kiện đảm bảo cho 5 tính chất nêu trên được thỏa mãn có thể tìm trong [77].
Giả sử toán tửF khả vi theo Frechet và ký hiệuF0(x)là đạo hàm Frechet của nó. Khi đó dễ thấyxα,δ là nghiệm của phương trình chuẩn hóa (normal equation)
F0(x)∗[F(x)−yδ] +α(x−x0) =0. (1.16)
Ngoài ra nghiệm hiệu chỉnh xα,δ có thể tính gần đúng bằng phép lặp Gauss- Newton áp dụng cho (1.16)
xk+1 =xk− F0(xk)∗F0(xk) +αI−1F0(xk)∗[F(xk)−yδ] +α(xk−x0) .
Hơn nữa, tham số hiệu chỉnhα có thể thay đổi theo bước lặpα =αk→0(k→∞). Khi đó ta thu được phép chỉnh lặp Gauss-Newton
xδ k+1=xδ k − F0(xδ k)∗F0(xδ k) +αkI−1F0(xδ k)∗[F(xδ k)−yδ] +αk(xδ k −x0) , mà sự hội tụ của nó và của các phương án song song sẽ được trình bày kỹ trong Chương 3 của luận án.
ii. Phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev
Giả sử toán tử F trong phương trình (1.7) xác định trên toàn không gian HilbertX, ngoài ra giả sửY =X. Toán tửF được gọi là đơn điệu nếu
hF(x1)−F(x2),x1−x2i ≥0,∀x1,x2∈X. (1.17)
Trong trường hợp này, ta sử dụng phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev, hay còn gọi là phương pháp nhiễu kỳ dị (singular pertubation method), tức là thay phương trình (1.7) bằng phương trình
Tautenhahn [79] đã chứng minh rằng nếu bài toán (1.7) có nghiệmx† cònF:X→
X là đơn điệu và khả vi trong hình cầu tâm x† với bán kính r=kx0−x†k+δ/α thì phương trình hiệu chỉnh (1.18) có nghiệm duy nhất trong hình cầu nói trên.
Nghiệm của phương trình (1.18) có thể tìm gần đúng bằng phương pháp Newton
xk+1=xk− F0(xk) +αI−1[F(xk)−yδ] +α(xk−x0)
và tham số α có thể chọn phụ thuộc vào k như trong phương pháp chỉnh lặp Gauss-Newton.