Chương 2: PHẦN PHỤ TRONG NHÓM
2.6. Các định lý về sự phân lớp
Xét nhóm W = × 2, trong đó là tích trực tiếp con của ∏p∈π p (plà tập hợp các số nguyên tố) nên W là tích trực tiếp con của các nhón đơn đặc trưng. Ta có: T(W) = ( )0,1 = 2 vì (0,1)2 = (0,0); và với mọi (a,b)W: (a,b)k = 0 suy ra a
= 0 suy ra (a,b)2, nên 2char W (vì qua phép đẳng cấu phần xoắn biến thành phần xoắn). Lấy nhóm con chuẩn tắc M bất kỳ của G là phần bù của 2, thì M có cấp vô hạn vì W có cấp vô hạn và 2 có cấp 2, suy ra: M∩2 = {1}. Do đó:
2
G= M× suy ra M ≅.
Xét tự đẳng cấu :f W W xác định như sau:
f(0,b) = (0,b), f(a,b) = (a,b+1) với a0. Ta thấy a,0 : f a ,0 a,1 . Tức không là nhóm con đặc trưng của W. Suy ra 2 không có phần bù đặc trưng trong W.
Nên W không là cCS-nhóm. ∎
2.6. Các định lý về sự phân lớp
Chứng minh định lý 2.1.4
• X
Ta có: S3 = (1 2 , 1 3) ( ) . S3 có 3 nhóm con cấp 2 là ( )12 , ( )13 , ( )( )( )12 13 12 và một nhóm con cấp 3 là ( )( )12 13 . Rõ ràng phần bù của ( )12 là ( )13 và ngược lại, phần bù của ( )( )( )12 13 12 là ( )( )12 13 và ngược lại. Tức S3 là aS- nhóm , nên cũng là nS-nhóm, cS-nhóm.
Mặt khác, S3 chỉ có một nhóm con đặc trưng thực sự và không tầm thường là ( )12 13 nên nó không có ph( ) ần bù chuẩn tắc thực sự trong S3. Suy ra: S3 không là cPNS-nhóm. Do đó: S3 cũng không là nPNS-nhóm và aNPS-nhóm.
Vậy ta có thể kết luận rằng xPNS ⊂xS với x = a, n, và c.
• Ti
ếp theo, xét nhóm thay phiên A5.
Ta có A5 là nhóm đơn (theo chứng minh ở nhận xét 2.3.4).
Nên theo định lý 2.5.2 A5 là nCS-nhóm do đó cũng là nPNS và nS-nhóm.
Mặt khác, A5 không có nhóm con cấp 15, 20, 30. Vì: nếu H là nhóm con A5 thỏa [G H: ]=n thì cấp của A5 là ước của n!, nhưng |A5| = 60 không là ước của 4!, 3!, 2!.
Gọi H là 2- nhóm con Sylow của A5, giả sử K là phần bù thực sự của H trong A5 . Khi đó: HK H K
H K
=
∩ . Suy ra: K ≥15⇒ K =60⇒K = A5 (vô lý). Tức: A5 không là aS-nhóm. Do đó A5 cũng không là aPNS, aCS-nhóm. Vậy ta có thể kết luận rằng aP⊂nP với P = S, PNS, và CS.
Xét nhóm W = × 2vì là tích trực tiếp con của ∏p∈π p (πlà tập hợp các số nguyên tố) nên W là một aPNS-nhóm do đó là một nPNS-nhóm, cPNS-nhóm.
Nhưng W không là một cCS-nhóm, nên cũng không là một nSC-nhóm, aCS-nhóm. Vậy ta có thể kết luận: xCS ⊂ xPNS với x = a, n, c.
Cuối cùng, xét nhóm F = × A5, trong đó là nhóm cộng các số hữu tỉ. Theo chứng minh ở nhận xét 2.3.4 thì F chỉ có bốn nhóm con đặc trưng 1, F, A5,và
Nên cFrat(F) = {1} Suy ra:F là một cCS-nhóm (theo mệnh đề 2.5.3) do đó cũng là một cPNS-nhóm, cS-nhóm. Nhưng F không là nS-nhóm nên cũng không là
nPNS, cPNS-nhóm.
Vậy định lý đã được chứng minh. ∎
Chứng minh định lý 2.1.5
Tất cả các nhóm được xét trong định lý này đều hữu hạn.
Theo chứng minh ở định lý 2.1.4; hệ quả 2.3.6, và hệ quả 2.4.3, ta chỉ cần chứng minh các quan hệ bao hàm thực sự sau: nCS⊂cCS, aCS⊂aPNS, nCS⊂nPNS và chứng minh cCS = nPNS.
Trước tiên ta chứng minh cCS = cPNS, bằng cách chứng minh cCS = nPNS.
Cho G là một cCS-nhóm hữu hạn. Theo định lý 2.5.4 thì G là tích trực tiếp con của các nhóm đơn đặc trưng. Tuy nhiên một nhóm đơn đặc trưng hữu hạn là một nhóm đơn hoặc là tích trực tiếp của các nhóm đơn (theo mệnh đề 1.1.14). Do đó, G là tích trực tiếp của các nhóm đơn. Theo định lý 2.4.1 thì G là nPNS – nhóm.
Ngược lại, cho G là một nPNS-nhóm hữu hạn.theohệ quả 2.4.5, G là tích trực tiếp của các nhóm đơn. Do đó, G có thể được viết dưới dạng G=K1×K2× ×... Kn, trong đó Ki là nhóm đơn đặc trưng hoặc là nhóm đơn trong G, 1≤ ≤i n. Nếu n = 1, thì nhóm con đặc trưng tối đại của G là {1}, và Frat(G) = {1}. Nếu n≥2 thì
1 ... 1 1 ... , 1,..,
j j j n
M =K × ×K − ×K + × ×K j= n là tất cả các đặc trưng tối đại của G. Do đó, Frat( ) n 1 { }1
j j
Tiếp theo, để chứng minh cCS⊂xPNS trong đó x = a, n, xét nhóm Klien cấp bốn,K4, là tích trực tiếp của các nhóm cyclic cấp 2. Theo định lý 2.4.6 và mệnh đề 2.1.2, K4 là một aPNS và nPNS-nhóm. Theo định lý 2.5.2 và 2.1.2 thì K4 không là một aCS và nCS-nhóm. Vậy cCS⊂xPNS với x = a, n.
KẾT LUẬN