Chương 2: PHẦN PHỤ TRONG NHÓM
2.5.Các đặc trưng của xCS-nhóm
nó là tổng trực tiếp của các nhóm cyclic có cấp là các số nguyên tố p phân biệt.
Chứng minh
Giả sử G là một aCS-nhóm khi đó G là một aPNS-nhóm. Theo định lý 2.4.6, mỗi p-nhóm con Sylow của G là aben. Gọi Gp là một p-nhóm con Sylow của G và giả sử rằng |Gp| >p.
Gọi a1 là một phần tử của Gp sao cho |a1| =p.
Vì G là một aSC-nhóm nên có một nhóm con thực sự H của G, H char G, sao cho: 1
G= a +H . Mà |a1| =p⇒G = a1 ⊕H . Vì |Gp| >p nên có a2∈H sao cho |a2| = p.
Lại do G là một aSC-nhóm nên ta có G= a2 ⊕Ktrong đó K là nhóm con đặc trưng thực sự của G.
Ta có: H = G∩H= ( ) ( )
2 2
a ⊕K ∩H = a + H ∩K .
Vì a2∉ ∩K Hnên H = a2 ⊕(H ∩K).
Suy ra: G= a1 ⊕ a2 ⊕(H∩K), trong đó (H∩K) char G.
Ta định nghĩa ánh xạ :φ G→Gφ( )a1 =a2;φ( )a2 =a1;φ( )l = ∀ ∈ ∩l, l H K. Khi đó φ là một tự đẳng cấu của Gnhưng φ( )H ≠H (mâu thuẫn).
Giả sử G= ∑Hi(Hi là nhóm cyclic có cấp là số nguyên tố). Giả sử, H1 và H2 là hai nhóm cyclic thỏa |H1| = |H2| = p (p là số nguyên tố). Khi đó H1⊕H2 > p (mâu thuẫn với mọi p-nhóm con Sylow của Gđều có cấp p).
Vậy: G phải là tổng trực tiếp của các nhóm cyclic có cấp là các số nguyên tố phân biệt. Ngược lại: Giả sử ' p p G C π ∈
= ∑ là tổng trực tiếp của các nhóm con cyclic Cp của các số nguyên tố phân biệt p, trong đó π' là tập hợp các số nguyên tố.
Gọi H là một nhóm con thực sự của G. khi đó có một số nguyên tố q ∈π', sao cho
q-nhóm con Sylow Gq của G chứa trong H.
Đặt ' q q q p K C π ∈ ≠
= ∑ , khi đó G = Gp+K và K char G (theo 1.1.14).
Suy ra: G = H+K.
Vậy H có phần phụ đặc trưng thực sự trong G. ∎
Định lý 2.5.2. Một nhóm hữu hạn G là một nCS-nhóm khi và chỉ khi nó là tích trực
tiếp của những nhóm đơn phân biệt.
Chứng minh
Cho G là một nCS-nhóm.
Suy ra: G là một nPNS-nhóm, theo hệ quả 2.4.5 ta có: G= ×S1 S2× ×... Sn, trong đó
Giả sử S1≅S2. Vì S1 là một nhóm con chuẩn tắc không tầm thường của G nên có một nhóm con đặc trưng thực sự K của G sao cho G = S1K.
Ta có: S1∩K 1S1⇒ S1∩K ={ } (vì S1 là nhóm đơn và nếu S1∩K =S1 thì K = G
mâu thuẫn với K là nhóm con thực sự của G). (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
1 2 3 / ... n K G S S S S ⇒ ≅ ≅ × × × . Do đó K = × × ×T2 T3 ... Tn, trong đó Tj ≅ Sj, 2≤ ≤j n. Vì G= × = × × × ×S1 K S1 T2 T3 ... Tn, trong đó S1≅S2 ≅T2. Nên G có một tự đẳng cấu không tầm thường φ thỏa:
( )S1 T2; ( )T2 S1; ( )Tk Tk,3 k n
φ = φ = φ = ≤ ≤ .
Suy ra Kkhông đặc trưng trong G. (mâu thuẫn). VậySi ≠Sj,1≤ ≠ ≤i j n.
Ngược lại:
Cho G= ×S1 S2× ×... Sn, trong đó Silà các nhóm đơn và Si ≠Sj,1≤ ≠ ≤i j n. Gọi H là nhóm con chuẩn tắc không tầm thường của G.
Nếu H = G, hiển nhiên H có phần phụ đặc trưng thực sự.
Nếu H là nhóm con thực sự của G, không mất tính tổng quát, ta có 1 2 ... t,1 1
H = × × ×S S S ≤ ≤ −t n .
Khi đó: K =St+1× ×... Sn là một nhóm con đặc trưng của G. Hơn nữa: G = HK
Định lý 2.5.3.Một nhóm G là một cCS-nhóm nếu và chỉ nếu cFrat(G) ={1}.
Chứng minh
Cho G là một cCS-nhóm và giả sử rằng cFrat(G) ≠{1}.
Trước tiên ta chứng minh cFrat(G)≠G. Giả sử cFrat(G) = G. Thì G có một nhóm con đặc trưng không tầm thường H. Lấy x∈H, x≠1. Thì xA G( ) ⊆H.
Khi đó có một nhóm con đặc trưng K của G thỏa: G = xA G( )K.
Cho M là nhóm con đặc trưng của G, M tối đại với quan hệ x∉M K, ⊆M (M là tồn tại theo bổ đề Zorn).
Ta sẽ chứng minh Mlà nhóm con đặc trưng tối đại của G.
Phản chứng, giả sử M không là nhóm con đặc trưng tối đại của G. Khi đó có một nhóm con đặc trưng L của G thỏa mãn M<L<G.
Nếu x∉L thì mâu thuẫn với tính cực đại của M.
Nếu x∈L, thì G=xA G( )K ⊂L (mâu thuẫn với cách đặt L).
Vậy M là nhóm con đặc trưng tối đại của G (mâu thuẫn với giả thiết cFrat (G) = G). Do cFrat(G) là nhóm con đặc trưng của G nên có một nhóm con đặc trưng tối đại M
của G thỏa G = cFrat(G).M. Mà cFrat(G) ⊆M, nên M = G (vô lý). Vậy cFrat(G) = {1}.
Ngược lại, Cho cFrat(G) = {1}. Nếu G là nhóm đơn đặc trưng hoặc nhóm tầm thường, hiển nhiên G là một cCS-nhóm. Trong các trường hợp khác, giả sử G
không là cCS-nhóm. Khi đó, có một nhóm con đặc trưng thực sự H của G sao cho
HK≠G với mọi nhóm con đặc trưng K của G. Suy ra: HM≠G, ∀ ∈M K.⇒HM =
⇒ H ⊆M,∀ ∈M K ⇒H⊆cFrat(G) ⇒cFrat(G) ≠{1}. (mâu thuẫn). ∎
Định lý 2.5.4.Nếu G là một cCS-nhóm, thì G là một tích trực tiếp con của các
nhóm đơn đặc trưng.
Chứng minh
Nếu G là nhóm tầm thường, hiển nhiên mệnh đề trên đúng. Giả sử G là nhóm không tầm thường, lấy x∈G, x≠1. Xét xA G( ) (adsbygoogle = window.adsbygoogle || []).push({});
Trước tiên, ta xét trường hợp A G( )
x = G. Nếu Gkhông có nhóm con đặc trưng thực sự nào trong G thì Glà nhóm đơn đặc trưng nên mệnh đề trên hiển nhiên đúng. Giả sử G không là nhóm đơn đặc trưng. Theo định lý 2.5.3, thì cFrat(G) = {1} và G
chứa một nhóm con đặc trưng tối đại M sao cho G= xA G( )M và x∉M . Trường hợp A G( )
x ≠G. Lập luận tương tự chứng minh ở định lý 2.5.3, có một nhóm con đặc trưng tối đại M thỏa mãn: A G( )
G=x M và x∉M .
Do đó, với mỗi phần tử không tầm thường x∈G luôn có một nhóm con đặc trưng tối đại Mx của G thỏa mãn x∉Mxvà G =xA G( )Mx. Hiển nhiên G/Mx là nhóm đơn đặc trưng.
Xét ánh xạ :φ G→∏x G∈ G Mx , trong đó: φ( )g =(gMx)x G∈ .
Vì cFrat(G) = {1} nên ker( )φ = {1}Suy ra φ là một đơn cấu từ G vào ∏x G∈ G Mx. Với mỗi phép chiếu qx từ ∏x G∈ G M/ x vào G/Mx, lấy g∈G Mx, luôn tồn tại phần tử gG, sao cho qxφ(g) = g. Suy ra qxφ là toàn cấu từ G vào G/Mx.
Nhận xét 2.5.5. Tồn tại nhóm W là tích trực tiếp con của các nhóm đơn đặc trưng
nhưng không là một cCS-nhóm.