Các đặc trưng của xPNS-nhóm

Chương 2: PHẦN PHỤ TRONG NHÓM

2.4. Các đặc trưng của xPNS-nhóm

chứng minh lớp nPNS-nhóm hữu hạn trùng với lớp các nD-nhóm hữu hạn và lớp các cPNS-nhóm hữu hạn.

Định lý 2.4.1: Cho G là một nhóm. Các mệnh đề sau là tương đương.

(a) G là một nPNS – nhóm.

Trước tiên ta chứng minh bổ đề sau:

Bổ đề 2.4.2: Một nhóm G đẳng cấu với tích trực tiếp con của một họ các nhóm đơn

khi và chỉ khi mọi nhóm con chuẩn tắc không tầm thường N đều có phần phụ chuẩn tắc thực sự trong G.

Chứng minh

)

⇒ Giả sử G là tích trực tiếp của các nhóm đơn i i SH

∈ Π .

Gọi N là nhóm con chuẩn tắc không tầm thường của G⇒ ∃x∈N, x≠1.

Suy ra, tồn tại Hj sao cho x∈Hj, hiển nhiên (G∩Hj)⊆N. Gọi ' i i j

N G H

≠

= ∩ Π . Khi đó N’ là nhóm con chuẩn tắc tối đại của G và không chứa x, hơn nữa: G = N.N’.

)

⇐ Giả sử G là nhóm thỏa mãn mọi nhóm con chuẩn tắc không tầm thường của G

đều có phần phụ thực sự trong G.

Gọi x là phần tử khác đơn vị của G. Khi đó, tồn tại nhóm con thực sự Nx của G sao cho xG.Nx = G. Gọi Mx là nhóm con chuẩn tắc của G, sao cho Mx tối đại trong tập tất cả các nhóm con chuẩn tắc của G thỏa x∉Mx ⊇Nx(Mxtồn tại theo bổ đề Zorn). Dễ thấy Mx là nhóm con chuẩn tắc tối đại của G.

Như vậy với mỗi phần tử khác đơn vị của G luôn có một nhóm con chuẩn tắc tối đại của G không chứa phần tử đó. Ta sẽ chứng minh G là tích trực tiếp con của

/ x

x GG M

∈

Π trong đó G/Mx là các nhóm đơn (vì Mx là nhóm con tối đại của G). Xét đồng cấu T: / x x G G G M ∈ → Π ( ) a→ a

T là đơn cấu vì nếu tồn tại a,b∈G, a≠b: (a) = (b) suy ra ( 1) 1 ab− = suy ra 1 1 ab

ab− ∈M − (mâu thuẫn với cách đặt Mxở trên). Gọi pi là phép chiếu từ / x

x GG M

∈

Π vào G/Mx. hiển nhiên piT là toàn cấu. Như vậy G là tích trực tiếp con của các nhóm đơn.

Chứng minh định lý 2.4.1:

Theo bổ đề trên ta có (a) ⇔ (b)

(b) ⇒(c) Giả sử G là tích trực tiếp con của các nhóm đơn thì G có nhóm con chuẩn tắc tối đại.

⇒nFrat(G) ≠ G.

Giả sử nFrat(G) ≠ {1}.

Vì G∈nPNS-nhóm nên ∃NG: nFrat(G). N = G.

Gọi M là nhóm con chuẩn tắc tối đại của G: N≤ M.

⇒ G = nFrat(G).M = M (mâu thuẫn). ⇒nFrat(G) ={1}.

Giả sử N là nhóm con chuẩn tắc không tầm thường của G, sao cho N không có phần phụ chuẩn tắc thực sự.

⇒G≠ NM, ∀M∈N

NM<G⇒NM = M⇒N⊂M, ∀M∈N

Định lý 2.4.3.Trong lớp các nhóm mà nFrat(G) là n-hữu hạn sinh tập hợp nPNS-

nhóm và tập hợp cPNS-nhóm bằng nhau.

Chứng minh:

Vì mọi nPNS-nhóm là một cPNS-nhóm nên chúng ta cần chứng minh cPNS- nhómlà một nPNS-nhóm.

Lấy G∈cPNS và nFrat(G) là hữu hạn sinh, nFrat(G) ≠G. Đặt nFrat(G) = x x1, 2,..xn G.

Nếu Glà đơn hay tầm thường hiển nhiên ta có điều cần chứng minh.

Trường hợp G không tầm thường, không đơn. Giả sử G không là một nPNS-nhóm. ⇒G có một nhóm con chuẩn tắc không tầm thường N sao cho N không có phần bù chuẩn tắc thực sự.

Vì nFrat(G) ≠ G nên G có nhóm con chuẩn tắc tối đại.

Khi đó ∀ ∈M N:NM ≠G mà NMG ⇒ NM =M ⇒ N ⊆M , ∀ ∈M N. Suy ra: N⊆nFrat(G) tức nFrat(G) không tầm thường trong G.

Vì nFrat(G) char G nên có một nhóm con chuẩn tắc thực sự L trong G sao cho:

G = nFrat(G).L.

⇒G = x x1, 2,..xn G.L = x x1, 2,.. ,x Ln G (theo 1.3.8). ⇒G = L (vô lý).

Nhận xét 2.4.4. Tồn tại một nhóm F là cPNS-nhóm nhưng nFrat(F) không hữu hạn

sinh và F ∉nPNS.

Chứng minh

Xét nhóm F = × A5.

Theo chứng minh ở nhận xét 2.3.4 thì F có bốn nhóm con đặc trưng là {1}, A5, 

và F.

Do đó: mỗi nhóm con đặc trưng không tầm thường của Gđều có phần bù chuẩn tắc thực sự trong F.

Suy ra: F là một cPNS–nhóm.

Theo chứng minh ở nhận xét 2.3.4 thì không có nhóm con tối đại nên cũng không có nhóm con tối đại chuẩn tắc.Chứng minh tương tự nhận xét 2.3.4 ta cũng được mọi nhóm con chuẩn tắc tối đại của F đều chứa 

Suy ra: nFrat(F) ≅.

Do đó nFrat(F) không hữu hạn sinh.

Ta cần chứng minh F không là nPNS-nhóm. Thật vậy, xét nhóm con chuẩn tắc  của F.

Trước tiên ta chứng minh không có phần bù thực sự trong . Giả sử  có phần bù thực sự K trong . Tức là +K =.

Trong đó  K là nhóm chia được (vì là nhóm chia được)còn K là nhóm cyclic nên  K là nhóm tầm thường theo bổ đề 2.3.5. Suy ra: K =  (mâu thuẫn).

Bây giờ ta chứng minh  không có phần bù thực sự trong F. Giả sử tồn tại nhóm con thực sự M của F sao cho M F. Khi đó M    M .

Theo chứng minh trên, suy ra M       M .

Do đó: M   M F(mâu thuẫn). ∎

Hệ quả 2.4.5.Lớp các nhóm hữu hạn nPNS-nhóm, nD-nhóm, cD-nhóm, và cPNS-

nhóm hữu hạn là trùng nhau và bất kỳ nhóm nào trong lớp này đều là tích trực tiếp của các nhóm đơn.

Chứng minh

Hiển nhiên, một nD-nhóm hữu hạn là một nPNS-nhóm hữu hạn.Ngược lại, gọi G là một nPNS-hữu hạn.

Theo định lý 2.4.1 G là tích trực tiếp con của các nhóm đơn G  aAGa.

Gọi N là một nhóm con chuẩn tắc của G thì Ga N là nhóm con chuẩn tắc của

Ga.Khi đó: với mọi a A hoặc Ga  N  1 hoặc Ga N Ga Ga N. Gọi: B là tập các chỉ số b thỏa mãn Gb N , H là tập con sinh bởi tập các nhóm

 Gb bB, tức:H  bBGb.

Tiếp theo ta chứng minh lớp nD-nhóm hữu hạn và lớp cD-nhóm hữu hạn là trùng nhau.

Vì một nD-nhóm hiển nhiên là cD-nhóm nên ta chỉ cần chứng minh một cD-nhóm hữu hạn là nD-nhóm hữu hạn.

Giả sử G là một cD-nhóm hữu hạn. Gọi K1 là nhóm con đặc trưng tối đại của G. Khi đó tồn tại nhóm đơn đặc trưng N sao cho G = K1N.

Gọi K2 là nhóm con đặc trưng tối đại của K1. Lặp lại quá trình như trên. Do G hữu hạn suy ra: G là tích trực tiếp của các nhóm đơn đặc trưng.

Theo theo mệnh đề 1.1.14 các nhóm đơn đặc trưng hữu hạn là tích trực tiếp của các nhóm đơn hữu hạn. Suy ra G là tích trực tiếp của các nhóm đơn.

Vậy G là nD-nhóm.

Theo định lý 2.4.3 lớp các cPNS-nhóm và lớp nPNS-nhóm là giống nhau.

Phần cuối của định lý là kết quả ở định lý 2.4.1. ∎

Định lý 2.4.6.Cho một nhóm không tầm thường G. Các mệnh đề sau tương đương:

(a) G là một aPNS-nhóm.

(b) G là một tích trực tiếp của một họ các nhóm cyclic có cấp nguyên tố.

Chứng minh

( ) ( )a ⇒ b :

Nếu x =G, thì Gđẳng cấu với một nhóm cyclic vô hạn hoặc Gđẳng cấu với một nhóm cyclic hữu hạn có cấp không chính phương.

Trường hợp G đẳng cấu với một nhóm cyclic hữu hạn có cấp không chính phương,

G là aPNS-nhóm nên là nPNS-nhóm hữu hạn. Do đó theo hệ quả 2.4.3 G là tích trực tiếp của các nhóm cyclic có cấp nguyên tố.

Trường hợp Gđẳng cấu với một nhóm cyclic vô hạn thì G là tích trực tiếp con của nhóm /

p p

∈

Π  (với π là tập hợp các số nguyên tố, và / p là nhóm đơn cấp p). Thật vậy, với mọi phần tử y của G tồn tại số nguyên k sao choy= xkvới m

k p

π ∈ = Π . Ta xây dựng đơn cấu f từ G vào /

p p

∈

Π   như sau: f(y)= ( )m . Khi đó với mỗi phép chiếu qp từ /

p p

∈

Π  vào / p, với mỗi phần tử m∈ / p ta luôn tìm được phần tử m∈ sao cho qpf(xpm) =m. Do đó qpf là toàn cấu từ Gvào / p. Như vậy, ta đã chứng minh được G là tích trực tiếp con của các nhóm cyclic có cấp nguyên tố trong trường hợp Gđẳng cấu với một nhóm cyclic có cấp vô hạn.

Nếu x ≠G. Vì G là nPNS-nhóm nên có một nhóm con chuẩn tắc thực sự N của G

sao cho G= x N. Gọi M là một nhóm con chuẩn tắc của G, M cực đại trong tập tất cả các nhóm con chuẩn tắc chứa N và không chứa x (M tồn tại theo bổ đề Zorn). Chúng ta sẽ chỉ ra G/M là nhóm cyclic có cấp nguyên tố.

Thật vậy:

Vì G= x M nênG M/ ≅ x M M/ ≅ x / x ∩M. Suy ra G/M là nhóm cyclic Nếu G/M không đơn, thì G/M có một nhóm con chuẩn tắc thực sự K/M của G/M. Do đó K là nhóm con chuẩn tắc thực sự của Gvới M ⊂K . Nếu x∈K thì

thuẫn với tính tối đại của M. Vậy G/M phải là nhóm đơn. Suy ra: G là nhóm cyclic có cấp nguyên tố.

Như vậy, với mỗi phần tử không tầm thường x của G, có một nhóm con chuẩn tắc

Mx của G sao cho x∉Mx và G/Mx là nhóm cyclic có cấp nguyên tố nên G là tích trực tiếp trong của một họ các nhóm cyclic có cấp nguyên tố (chứng minh tương tự bổ đề 1.4.2).

( )b ⇒( )c

Cho G là nhóm thỏa điều kiện (b). Khi đó G giao hoán.

Hơn nữa theo 2.4.1 thì G là một nPNS-nhóm với nFrat(G) = {1}. Do G giao hoán, nên {1} = nFrat(G) = Frat(G) = p

p∈πG

 . ( )c ⇒( )a

Cho G là nhóm giao hoán thỏa p { }1

p∈πG =



Lấy g∈G g, ≠1.

Chọn p là số nguyên tố sao cho p g∉G .

Vì G G/ p là một p – nhóm giao hoán sơ cấp nên Frat(G G/ p) = nFrat(G G/ p) = {1}. Do đó theo 2.3.1 / p

G G là nS-nhóm nên cũng là aPNS-nhóm (vì G G/ pgiao hoán nên mọi nhóm con của nó đều là nhóm con chuẩn tắc). Suy ra, tồn tại một nhóm con M của G chứa p

G sao cho G Gp =( g Gp).(M Gp). Suy ra:

2.5. Các đặc trưng của xCS-nhóm

Các đặc trưng của xCS-nhóm

Các định lý về sự phân lớp