Tính từng số hạng theo công thức |z|” = z.z, tacó

|b-aÏ =b-ab-a=bb+aa-ab-ab,

lc-”Ï =ec-bec-b=eec+bb-be—be,

|a-«Ÿ =q--C đ-c=cc+aa-ae-ae.

Cộng các đẳng thức trên, về với về ta được

|b~ a +|e—bŸ +|e~ aÏ =2|aÏ+ b

ˆ+|e”~[a b+e+ba+c+e a+b]

Do a++c=0 suyra a+b+c=0. Từ đó Suy ra b+c=-a,a+c=-b,a+b=-=c.

T7 — — — — T — T7 — 2 2 2

Do đó ta có ab+c+ba+c+c a+b=~aa+—bb —ce = -|a| +Ìb +|c|

2 2

+|e”. W

Vậy ta có |b—al`+|e— +|e-aÌ =3|a +|ð|

2) Ta có

MÀ + MB” + MC? =la—m|Ï+|b— mỈ +|e— mỈ =a—m a~m+b—m b—m+c—m c—m

=aa+bb + cc + 3mm ~[m a+b+c+m a+b+e] = aÏ!+|bÏ +|e+3 mÏ

=GA?+GB†+GC”+3MG”.W

Vậy M4? + MB? + MC” nhỏ nhất khi và chỉ khi ÄM⁄Œ? nhỏ nhất khi và chỉ khi M =G,

nghĩa là M là trọng tâm của tam giác ABC.

Ví dụ 3. Trong tất cả các tam giác nội tiếp trong cùng một đường tròn cho trước, hãy tìm tam giác có tổng bình phương các cạnh là lớn nhất.

Giải

Dựng hệ tọa độ vuông góc Oxy sao cho gốc tọa độ O trùng với tâm đường tròn.

Gọi G là trọng tâm G tam giác ABC, ta có

UY 2 'uun 'UUU 2

AB” + BC” + AC” =3(GA” + GB) +6C')=3|G4 +GB +GC

=3[(4-)(4-6)+(B~6)(B~6)+(C~6)(C=6) |

=3|I4[ ~ 4g~@4+ |6] +|BŸ~8@~@B+|gÌ+|cỦ~œø=œ€+|6Ï ]

=3(I4 +|BŸ +|CỬ]+9|CỈ =3G(4+ B+€)~36(4+ 8+€)

=9R° +9|GÏ ~3G(3)~30(3đ) =98° ~9|GÏ

Từ đó suy ra tông 4B? + BC? + AC? lớn nhất khi và chỉ khi G=Ø hay tam giác ABC đều và tổng lớn nhất đó bằng 98”.

giác ABC đều và tổng lớn nhất đó bằng 98”.

Ví dụ 4. Cho tam giác ABC nội tiếp đường tròn w. Gọi 4, là trung điểm cạnh BC và

A,là hình chiếu của 4, trên tiếp tuyến của w tại A. Các điểm Ö,,B,,C.,C, được xác

định một cách tương tự. Chứng minh rằng các đường thăng 4,4,,B,B,,C,C, đồng quy. Hãy xác định vị trí hình học của điểm đồng quy.

Giải

Không mắt tính tổng quát, coi w là đường tròn đơn vị. Gọi w là tọa vị của điểm W trong mặt phẳng phức.

Ta có a= = và đường thắng 444, là đường thẳng đi qua 44(4,), song song với

OA, do đó 4,4, có phương trình đzS=d2=a. TẾ -| 2)

2= K (2

z-az=| —-a

2 2

hay

xa” = a+b+€ 2 a+b+c

2 2

: ^{. +b+ .}

Gọi N là tâm đường tròn Euler của tam giác, thì m = do đó 444, đi qua N. Tương tự cũng có Ö,,8,,C(,C; đi qua N.

Hình 15

2.5 Ứng dụng số phức giải toán quỹ tích

Ví dụ 1. Cho tam giác ABC, trong đó các đỉnh B, C có định, đỉnh A thay đổi. Tìm quỹ tích các trung điểm M, N của các cạnh tương ứng AB, AC và trọng tâm G của tam giác ABC trong các trường hợp:

e) Độ dài đường cao AA' không đổi.

đ) Chân A' của đường cao AA' có định. e) Độ dài đường cao AA' không đối.

Giải